Дано вершини трикутника АВС А(-7;5), В(5;-4), С(3;10). Знайти:
1) довжину ВС
2) рівняння висоти АD на сторону ВС
3) рівняння медіани ВЕ
4) точку перетину медіани ВЕ та висоти АD
5) довжину висоти АD
6) кут між прямими АD і ВЕ
Ответы
1) Довжина ВС:
BC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(3 - 5)² + (10 - (-4))²] = √[(-2)² + (14)²] = √200 = 10√2.
Отримали довжину BC, яка дорівнює 10√2.
2) Рівняння висоти АD на сторону ВС:
AD є висотою, спущеною на сторону BC. Тому, вектор, що йде з B до C можна розбити на два вектори - AB і AC, а потім знайти їх довжини.
AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(3 - 5)² + (10 - (-4))²] = √[(-2)² + (14)²] = √200
AC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(3 - (-7))² + (10 - 5)²] = √[10² + 5²] = √125
Тепер знайдемо площу трикутника ABC:
S = 1/2 * AB * AC = 1/2 * √200 * √125 = 5√500 = 50√2
Довжина висоти AD дорівнює двійковому квадратному кореню з S/BC
AD = 2 * √(S/BC) = 2 * √ (50√2 / 10√2) = 2 * √5 = 2√5
Отже, рівняння висоти АD на сторону ВС має вигляд y - 5 = (-4 - 5) / (5 - (-7))(x - (-7)) або y = (-9/12)x + 77/12.
3) Рівняння медіани ВЕ:
ВЕ є медіаною, яка проходить через середину AB. Координати середини AB можна знайти, взявши середини відповідних координат точок. Тому середина AB дорівнює ((-7 + 5)/2; (5 - 4)/2) = (-1; 1/2).
Кут між медіаною BE та стороною AC буде рівним куту між медіаною BE та стороною AB. Цей кут є прямим кутом, тому що медіана - це вектор, який ділить сторону на дві рівні частини, і він перпендикулярний до сторони.
Тому рівняння медіани ВЕ має вигляд y - (1/2) = (10 - (-4)) / (3 - 5)(x - (-1)) або x + 3y = 27.
4) Точка перетину медіани ВЕ та висоти АD
Точка перетину медіани ВЕ і висоти AD є серединою BC. Отже, координати цієї точки можна знайти, взявши середину між координатами точок В і С:
((5 + 3)/2; (-4 + 10)/2) = (4; 3)
Точка перетину медіани ВЕ і висоти AD має координати (4, 3).
5) Довжина висоти АD:
Довжина висоти АD дорівнює 2√5, що було знайдено в пункті 2.
6) Кут між прямими АD і ВЕ:
Ми знаємо, що медіана ВЕ перпендикулярна до сторони AC, а висота AD перпендикулярна до сторони BC. Отже, кут між прмимими АD і ВЕ є доповнюючим до кута між сторонами AB та BC.
Кут ABC можна знайти, використовуючи теорему косинусів:
cos(ABC) = (AB² + BC² - AC²) / 2AB * BC = (200 + 200 - 125) / (2 * 10√2 * 10) = 3/4
тому ABC = 41.41 градусів (до двох знаків після коми).
Кут між АD і ВЕ дорівнює 90° - ABC, тому він дорівнює 48.59 градусів (до двох знаків після коми).