Question

Напишите уравнение касательной к графику функции y=sin πx/2 + ln(2-x) в точке с абсциссой x=1

Answer 1

Ответ:

Для знаходження рівняння касательної до графіку функції в точці (x₀,y₀) потрібно знайти похідну функції у цій точці і підставити значення координат точки:

y' = (π/2)cos(πx/2) - 1/(2-x)

y'(1) = (π/2)cos(π/2) - 1/(2-1) = 0 - 1 = -1

Отже, нахил касательної у точці x=1 дорівнює -1. Тепер потрібно знайти точку перетину касательної і графіку функції, щоб знайти значення y₀:

y - y₀ = y'(x₀)(x - x₀)

y - y₀ = -1(x - 1)

y - y₀ = -x + 1

Підставляємо x=1 і y=y₀:

y₀ - y₀ = -1 + 1

0 = 0

Отже, касательна проходить через точку (1,y₀), а рівняння касательної має вигляд:

y - y₀ = -x + 1

або

y = -x + (y₀ + 1)

Залишається знайти значення y₀. Підставляємо x=1 і y=sin(π/2) + ln(2-1) = 1 + ln1 = 1:

y₀ - 1 = -1 + 1

y₀ = 1

Отже, рівняння касательної до графіку функції y=sin πx/2 + ln(2-x) в точці x=1 має вигляд:

y = -x + 2