Question

Исследуйте функцию y=-x^3+3x+2 и постройте ее график

Answer 1

Ответ:

1. х ∈ R

2. функция не является четной или нечетной.

3. точка пересечения с Оу:   (0;2);

точки пересечения с Ох:   (-1; 0) и (2; 0).

4.  асимптот нет.

5. Функция возрастает на промежутке: [-1; 1].

Функция убывает на промежутках: (-∞; -1], [1; +∞).

x min = -1;     x max = 1.

6. Функция вогнута на промежутке: (-∞; 0].

Функция выпукла на промежутке [0; +∞)

х перегиба = 0

Объяснение:

Исследуйте функцию y=-x³+3x+2 и постройте ее график.

1. Область определения функции.

х ∈ R

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

f(-x) = - (-x³) - 3x + 2 = x³ - 3x + 2

f(-x) ≠ f(x) ≠ -f(x)   ⇒   функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями.

1) с осью Оу   ⇒   х = 0; у = 2   ⇒   точка пересечения с Оу:   (0;2)

2) с осью Ох   ⇒   у = 0

-х³ + 3х + 2 = 0   |·(-1)

x³ - 3x - 2 = 0

x³ - x - 2x - 2 = 0

x(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1) = 0

(x + 1)(x² - x - 2) = 0

По теореме Виета корни во второй скобке: х₁ = 2;   х₂ = -1

(х + 1)²(х - 2) = 0

⇒ точки пересечения с Ох:   (-1; 0) и (2; 0)

4. Асимптоты.

Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

y' = -3x² + 3 = 3(1 - x)(1 + x)

3(1 - x)(1 + x) = 0

x = 1;     x = -1

$---[-1]+++[1]---\\_\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;_{min}\;_\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{max}$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция возрастает на промежутке: [-1; 1].

Функция убывает на промежутках: (-∞; -1], [1; +∞)

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x min = -1;     x max = 1.

у(-1) = 0;   у(1) = 4.

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

y'' = -6x

-6x = 0   ⇒   x = 0

$+++[0]---$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция вогнута на промежутке: (-∞; 0].

Функция выпукла на промежутке [0; +∞)

х перегиба = 0

у(0) = 2

Строим график.

#SPJ1