7 Розв’язати задачу Коші у' — 2x = x · e2x²; y(0) = 2 ДОПОМОЖІТЬ ! БУДЬ ЛАСКА
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Дане диференціальне рівняння можна вирішити за допомогою методу інтегрування фактора.
Почнемо зі складання інтегруючого множника. Інтегруючий множник - це функція, на яку множиться диференціальне рівняння, щоб ліву частину можна було записати як похідну добутку цієї функції і правої частини рівняння.
Для даного рівняння, інтегруючим множником є експонента e^(∫(-2x)dx) = e^(-x^2). Множимо обидві частини рівняння на цей множник:
e^(-x^2) * y' - 2x * e^(-x^2) * y = x * e^(2x^2) * e^(-x^2).
Замінюємо перший доданок зліва згідно правила ланцюжкового правила:
(d(e^(-x^2) * y) / dx) = x * e^(2x^2 - x^2) = x * e^x^2.
Інтегруємо обидві частини відповідно до змінної x:
∫(d(e^(-x^2) * y) / dx) dx = ∫(x * e^x^2) dx.
e^(-x^2) * y = ∫(x * e^x^2) dx.
Зараз ми можемо обчислити інтеграл ∫(x * e^x^2) dx, використовуючи підстановку інтегрування:
Поклавши t = x^2, отримуємо dt = 2x dx. Підставимо ці значення у вираз:
∫(x * e^x^2) dx = (1/2) * ∫e^t dt = (1/2) * e^t + C = (1/2) * e^(x^2) + C.
Повертаємось до рівняння:
e^(-x^2) * y = (1/2) * e^(x^2) + C.
Розділимо обидві частини на e^(-x^2):
y = (1/2) * e^(2x^2) + C * e^(x^2).
Використовуючи початкову умову y(0) = 2, підставимо x = 0 та y = 2 у вираз:
2 = (1/2) * e^(2 * 0^2) + C * e^(0^2)