У правильну чотирикутну піраміду вписано кулю. Визначити площу її поверхні, у якщо відомо, що сторона основи рівна а і плоский кут при вершині піраміди α
Ответы
Площу поверхні правильної чотирикутної піраміди можна обчислити, використовуючи формулу:
S = S_base + S_lateral,
де S_base - площа основи піраміди, а S_lateral - площа бічної поверхні піраміди.
1. Площу основи піраміди можна обчислити, знаючи сторону основи a:
S_base = a^2.
2. Площу бічної поверхні піраміди можна обчислити, використовуючи плоский кут при вершині піраміди α і радіус вписаної кулі r. Площа бічної поверхні піраміди складається з чотирьох бокових трикутників. Довжини сторін цих трикутників можна обчислити за допомогою тригонометричних співвідношень. Один із таких трикутників має гострі кути α/2, α/2 та 90°.
При умові вписаної кулі, радіус вписаної кулі r є радіусом вписаного трикутника, що утворюється боковою стороною та півосновою правильної чотирикутної піраміди. Радіус вписаної кулі можна обчислити за допомогою формули:
r = (a / 2) * tan(α / 2).
Площу бічної поверхні піраміди можна обчислити, використовуючи формулу для площі трикутника:
S_lateral = 4 * (1/2) * a * r.
3. Підставимо обчислені значення у формулу для площі поверхні піраміди:
S = S_base + S_lateral
= a^2 + 4 * (1/2) * a * r
= a^2 + 2 * a * (a / 2) * tan(α / 2)
= a^2 + a^2 * tan(α / 2).
Таким чином, площа поверхні правильної чотирикутної піраміди дорівнює a^2 + a^2 * tan(α / 2).