Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ, высшая математика: Двойные интегралы.

Изменить порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двукратного интеграла. Область интегрирования изобразить на чертеже.

Answer 1

Ответ:            

Изменить порядок интегрирования .

$\bf \displaystyle \int\limits_0^3\, dy\int\limits_0^{\frac{4}{9}\, y^2}\, f(x,y)\, dx+\int\limits_3^5\, dy\int\limits_0^{\sqrt{25-y^2} }\, f*x,y)\, dx=\int\limits_0^4\, dx\int\limits_{\frac{3}{2}\, \sqrt{x}}^{\sqrt{25-x^2}}\, f(x,y)\, dy$  

 

Уравнение верхней ветви параболы  $\bf x=\dfrac{4}{9}\, y^2$   имеет вид  $\bf y=\dfrac{3}{2}\, \sqrt{x}$  .

Уравнение верхней полуокружности имеет вид  $\bf y=\sqrt{25-x^2}$  .  

Парабола и окружность пересекаются в точках (4;3) и (4;-3) , так как

$\bf \dfrac{4}{9}\, y^2=\sqrt{25-y^2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{16}{81}\, y^4=25-y^2\ \ ,\ \ 16y^4+81y^2-81\cdot 25=0\ ,\\\\D=81^2+4\cdot 16\cdot 81\cdot 25=136161= 369^2\ \ ,\\\\y^2=\dfrac{-81-369}{2\cdot 16}=-14,0625\ \ \ ne\ \ podxodit\ \ ,\\\\y^2=\dfrac{-81+369}{2\cdot 16}=9\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y_{1,2}=\pm 3\\\\x_{1,2}=\sqrt{25-(\pm 3)^2} =\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\\\\tochki\ :\ \ A(\, 4\, ;\, 3\, )\ ,\ B(\, 4\, ;\, -3\, )$