Дано координати 4 точок: A(1,2,3), B(4,-5,6),C(-1,3,-4), D(-5,3,2). Визначити довжину вектора AB, площу трикутника ABC, об’єм піраміди ABCD, координату точки H (проекція точки С на пряму AB). Написати рівняння площини ABC у канонічному вигляді, та «у відрізках». Написати рівняння лінії AB у параметричному вигляді. Знайти координати точки E, яка є вершиною паралелограма ABEC.
Ответы
Ответ:Довжина вектора AB:
AB = (3-(-5), -5-2, 6-3) = (8, -7, 3)
|AB| = √(8^2 + (-7)^2 + 3^2) = √82
Площа трикутника ABC:
AB = (8, -7, 3)
AC = (-2, 1, -7)
AB x AC = (-22, -50, -6)
|AB x AC| = √(22^2 + 50^2 + 6^2) = √2620
S(ABC) = 1/2 |AB x AC| = 1/2 √2620 ≈ 20.39
Об’єм піраміди ABCD:
V(ABCD) = 1/3 S(ABC) * h
h - висота піраміди, яка дорівнює відстані від точки D до площини ABC.
ABCD утворює прямокутну трикутну систему, тому висота піраміди дорівнює відстані від точки D до точки ABC.
h = |(D-A)·(ABxAC)| / |ABxAC|
h = |(-6,1,-1)·(-22,-50,-6)| / |(-22,-50,-6)|
h = |-44 + (-50) + 6| / √(22^2 + 50^2 + 6^2)
h = 100 / √2620
V(ABCD) = 1/3 S(ABC) * h = 1/3 * √2620 * 100 / √2620 = 100/3
Координата точки H:
H лежить на прямій AB, тому H = A + t·AB, де t - параметр.
Вектор AH:
AH = (t·8, t·(-7), t·3)
Вектор CB:
CB = (-1-4, 3-(-5), -4-6) = (-5, 8, -10)
Проекція вектора CB на вектор AB:
proj_AB(CB) = (CB·AB / |AB|^2)·AB
CB·AB = -40+56-30 = -14
|AB|^2 = 82
proj_AB(CB) = (-14/82)·(8, -7, 3) = (-1.7073, 1.5000, -0.6829)
Точка H лежить на прямій AB, тому вектори AH та proj_AB(CB) колінеарні.
AH = k·proj_AB(CB)
t·(8, -7, 3) = k·(-1.7073, 1.5000, -0.6829)
Система рівнянь:
t·8 = -1.7073·k
t·(-7) = 1.5000·k
t·3 = -0.6829·k
Розв’язуємо систему рівнянь:
t = -0.2787
k = -1.6281
Точка H:
H = A + t·AB = (1,2,3) + (-0.2787)·(8,-7,3) ≈ (0.3589, 0.0804, 2.4527)
Рівняння площини ABC у канонічному вигляді:
AB = (8, -7, 3)
AC = (-2, 1, -7)
n = AB x AC = (-22, -50, -6)
n·r = n·A
-22x - 50y - 6z = -22·1 -50·2 -6·3
22x + 50y + 6z = 122
Рівняння площини ABC у відрізках:
x/5 - y/11 - z/5 = 1
Рівняння лінії AB у параметричному вигляді:
x = 1 + t·8
y = 2 - t·7
z = 3 + t·3
Координати точки E:
E - середина відрізка AB.
E = (A+B)/2 = ((1,2,3)+(4,-5,6))/2 = (2.5,-1.5,4.5)
Вектор EC:
EC = C-E = (-1-2.5, 3+1.5, -4-4.5) = (-3.5, 4.5, -8.5)
Вектор AB:
AB = (4-1, -5-2, 6-3) = (3, -7, 3)
Вектор ED = AB
Вектор AE = AB/2
Вектор AD = ED - AE = AB/2
AD = (1.5, -3.5, 1.5)
Точка E:
E = C - AD = (-1,3,-4) - (1.5,-3.5,1.5) = (-2.5, 6.5, -5.5)
Объяснение: