Question

Имеется проволока длиной 48 м. Требуется оградить этой проволокой прямоугольный участок земли, чтобы площадь огороженного участка была наибольшей. Найдите стороны этого прямоугольного участка.​

Answer 1

Ответ:

Стороны прямоугольного участка равны 12 м и 12 м. То есть - квадрат.

Пошаговое объяснение:

Имеется проволока длиной 48 м. Требуется оградить этой проволокой прямоугольный участок земли, чтобы площадь огороженного участка была наибольшей. Найдите стороны этого прямоугольного участка.​

Имеется проволока длиной 48 м. Требуется оградить этой проволокой прямоугольный участок земли...

⇒ Р уч. = 48 м

• Формула периметра прямоугольника:

               Р = 2 (a + b),

где а и b - стороны прямоугольника.

Подставим значение периметра в данную формулу и выразим одну сторону через другую.

48 = 2 (а + b)     |:2

a + b = 24

a = 24 - b

• Формула площади прямоугольника:

                S = ab

S = (24 - b) · b

Получили функцию зависимости площади от стороны прямоугольника.

...чтобы площадь огороженного участка была наибольшей.

Найдем, при каком значении b значение функции будет максимальной.

Для этого вычислим производную, приравняем к нулю и найдем корни.

S' = (24b - b²)' = 24 - 2b

24 - 2b = 0

-2b = -24     |:(-2)

b = 12

Отметим эту точку на числовой оси и определим знаки производной на промежутках:

$+++[12]---\\\;\;\;\;\;_\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{max}$

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум.

⇒ b max = 12

b = 12 м  ⇒  a = 24 - b = 24 - 12 = 12 (м)

Стороны прямоугольного участка равны 12 м и 12 м. То есть - квадрат.