1. Доведіть що многочлен х^3-2х^2-2х+3 ділиться націло на х^2-х-3
Ответы
Щоб довести, що многочлен `х^3-2х^2-2х+3` ділиться націло на `х^2-х-3`, ми можемо застосувати алгоритм ділення многочленів. Цей алгоритм дозволяє нам поділити один многочлен на інший і перевірити, чи ділиться він націло.
Для зручності позначимо многочлен `х^3-2х^2-2х+3` як `P(x)`, а многочлен `х^2-х-3` як `Q(x)`.
Алгоритм ділення многочленів починається з поділу коефіцієнта найвищого ступеня многочлена `P(x)` на коефіцієнт найвищого ступеня многочлена `Q(x)`. У нашому випадку, найвищий ступінь `P(x)` - 3, а найвищий ступінь `Q(x)` - 2. Тому ми ділимо `х^3` на `х^2` і отримуємо `х`.
Тепер ми множимо `х` на `Q(x)` і віднімаємо результат від `P(x)`. Отримуємо:
```
P(x) - х * Q(x) = (х^3 - 2х^2 - 2х + 3) - х * (х^2 - х - 3)
= х^3 - 2х^2 - 2х + 3 - х^3 + х^2 + 3х
= -х^2 + x + 3
```
Поки що, отримали `-х^2 + x + 3`. Тепер повторюємо процес: ділимо `-х^2` на `-х^2` і отримуємо `-1`. Множимо `-1` на `Q(x)` і віднімаємо результат від `-х^2 + x + 3`:
```
(-х^2 + x + 3) - (-1) * (х^2 - х - 3)
= -х^2 + x + 3 + х^2 - х - 3
= -2х + x
```
Тепер ми отримали `-2х + x`. Знову ділимо `-2х` на `-х^2` і отримуємо `2х`. Множимо `2х` на `Q(x)` і віднімаємо результат від `-2х + x`:
```
(-2х + x) - (2х) * (х^2 - х - 3)
= -2х + x -
2х^3 + 2х^2 + 6х
= -2х^3 + 2х^2 + 4х
```
Отримали `-2х^3 + 2х^2 + 4х`. Знову ділимо `-2х^3` на `-х^2` і отримуємо `2х`. Множимо `2х` на `Q(x)` і віднімаємо результат від `-2х^3 + 2х^2 + 4х`:
```
(-2х^3 + 2х^2 + 4х) - (2х) * (х^2 - х - 3)
= -2х^3 + 2х^2 + 4х - 2х^3 + 2х^2 + 6х
= 6х^2 + 10х
```
Отримали `6х^2 + 10х`. Ділимо `6х^2` на `-х^2` і отримуємо `-6`. Множимо `-6` на `Q(x)` і віднімаємо результат від `6х^2 + 10х`:
```
(6х^2 + 10х) - (-6) * (х^2 - х - 3)
= 6х^2 + 10х + 6х^2 - 6х + 18
= 12х^2 + 4х + 18
```
Отримали `12х^2 + 4х + 18`. Ділимо `12х^2` на `-х^2` і отримуємо `-12`. Множимо `-12` на `Q(x)` і віднімаємо результат від `12х^2 + 4х + 18`:
```
(12х^2 + 4х + 18) - (-12) * (х^2 - х - 3)
= 12х^2 + 4х + 18 + 12х^2 - 12х + 36
= 24х^2 - 8х + 54
```
Отримали `24х^2 - 8х + 54`. Ділимо `24х^2` на `-х^2` і отримуємо `-24`. Множимо `-24` на `Q(x)` і віднімаємо результат від `24х^2 - 8х + 54`:
```
(24х^2 - 8х + 54) - (-24) * (х^2 - х - 3)
= 24х^2 - 8х + 54 + 24х^2 - 24х + 72
= 48х^2 - 32х + 126
```
Отримали `48х^2 - 32х + 126`. Найвищий ступінь цього многочлена (ступінь 2) менший за найвищий ступінь `Q(x)` (ступінь 2), тому ми не можемо продов
жити процес ділення.
Залишок від ділення - `48х^2 - 32х + 126`. Якщо залишок дорівнює нулю, це означає, що `P(x)` ділиться націло на `Q(x)`.
У нашому випадку, залишок не дорівнює нулю, тому ми приходимо до висновку, що многочлен `х^3-2х^2-2х+3` не ділиться націло на `х^2-х-3`.
Объяснение: