Помогите решить задачи на случайную величину!
1.Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания или пока не израсходует патроны. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле 0,25. Составить закон распределения случайной величины X - числа израсходованных патронов.
2.В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается 2 вещи стоимостью по 15 рублей, и 1 стоимостью 55 рублей. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрел 1 билет за 2 рубля; всего 50 билетов.
3.Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в неё первым стрелком равна 0,5, вторым 0,4. Составить закон числа попаданий в мишень.
Ответы
Ответ:
1. Закон распределения случайной величины X - числа израсходованных патронов - биномиальный закон распределения. Формула для расчета вероятности P(X=k) при известной вероятности успеха p и количестве испытаний n:
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
где C(n,k) - число сочетаний из n по k.
В данном случае, n=4 (количество патронов), p=0,25 (вероятность попадания в цель).
Тогда:
P(X=1) = C(4,1) * 0,25^1 * 0,75^3 = 0,4219
P(X=2) = C(4,2) * 0,25^2 * 0,75^2 = 0,4219
P(X=3) = C(4,3) * 0,25^3 * 0,75^1 = 0,2109
P(X=4) = C(4,4) * 0,25^4 * 0,75^0 = 0,0039
Таким образом, закон распределения X имеет следующий вид:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| - | - | - | - | - |
| P(X) | 0,4219 | 0,4219 | 0,2109 | 0,0039 |
2. Сумма чистого выигрыша для студента также имеет биномиальный закон распределения, так как каждый билет выигрышный или нет с вероятностью p=3/50 (так как из 50 билетов 3 выигрышных).
Пусть X - число выигрышных билетов, тогда сумма чистого выигрыша будет равна 15*X, если X<2, и 85 рублей, если X=2.
Тогда, закон распределения X имеет следующий вид:
| X | 0 | 1 | 2 |
| - | - | - | - |
| P(X) | 0,56 | 0,40 | 0,04 |
Соответственно, закон распределения суммы чистого выигрыша для студента имеет следующий вид:
| Y | 0 | 15 | 85 |
| - | - | -- | -- |
| P(Y) | 0,56 | 0,40 | 0,04 |
3. Число попаданий в мишень у каждого стрелка можно описать биномиальным законом распределения с параметрами n=1 (один выстрел) и вероятностью успеха p=0,5 для первого стрелка и p=0,4 для второго стрелка.
Тогда, закон распределения числа попаданий в мишень имеет следующий вид:
| Число попаданий | 0 | 1 |
| - | - | - |
| P(первый стрелок) | 0,5 | 0,5 |
| P(второй стрелок) | 0,6 | 0,4 |
Например, вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень, равна произведению вероятностей каждого из них попасть в мишень:
P(оба попадут в мишень) = P(первый стрелок попадет в мишень) * P(второй стрелок попадет в мишень) = 0,5 * 0,4 = 0,2.
Объяснение:
.