Question

Несколько
чисел образуют арифметическую прогрессию,
причем их сумма равна 63, а первый член
в полтора раза больше разности прогрессии.
Если все члены прогрессии уменьшить на
одну и ту же величину так, чтобы первый
член прогрессии был равен разности
прогрессии, то сумма всех чисел уменьшится
не более, чем на 8, но не менее, чем на 7.
Определите, какой может быть разность
этой прогрессии. Здесь может быть
несколько ответов.

Answer 1

 Пусть наша последовательность из чисел $a_{1};a_{2};a_{3};a_{4}....,a_{n}$  
 $S=63\ S=frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n=63\ a_{1}=1.5d\ S=frac{3d+d(n-1)}{2}*n=63$
 Пусть мы  уменьшим разность на $x$  , тогда    
$a_{1}-x=d\ a_{2}-x\ a_{3}-x\ ...,\ a_{n}-x\\ S_{1}=frac{2(a_{1}-x)+(a_{1}-x)(n-1)}{2}*n =frac{n(n+1)(a_{1}-x)}{2}$
по первой сумме получаем 
$dn(2+n)=126\ 2dn+dn^2=126\ dn^2+2dn-126=0\ D=sqrt{4d^2+4d*126}$
так как $n$ принадлежит только целым числам то 
$D$ должен быть так же целым 
$sqrt{4d(d+126)}=k$ где $k$ целое число 
 $4d=d+126\ 3d=126\ d=42$ 
этот вариант не подходит так как выходит то что в последовательности только единственный член . 
Для того что бы из под корня был целое число , необходимо что бы сами сомножители были квадратами каких то чисел, очевидно подходит $d=2$, заметим так же что чем больше $d$ тем меньше членов в последовательности. То есть $2 leq d<42$
Тогда $n=7$ 
 Посмотрим по второй сумме 
$n=frac{-2+sqrt{4+frac{504}{d}}}{2}$
подставляя в сумму получаем 
$220<sqrt{1+frac{126}{d}}*sqrt{d+frac{126}{d}}-1)(3d-2x) leq 224$
подставляя $d=2$ окончательно убеждаемся что 
$d leq 2$