Question

Умова на фото, допоможіть!

Answer 1

Спочатку знайдемо довжину сторони АС за теоремою Піфагора:
$$c^2 = a^2 + b^2$$
$$c^2 = a^2 + (3,2 \text{ см})^2$$
$$c^2 = a^2 + 10,24 \text{ см}^2$$
Так як сторона АС - рівностороння, то $a = c$, тому можемо записати:
$$a^2 = a^2 + 10,24 \text{ см}^2$$
$$0 = 10,24 \text{ см}^2$$
Отримали протиріччя, тому припускаємо, що трикутник АВС не є рівностороннім.

Так як відрізки КВ-CE=AD, то можемо записати:
$$KB + BC + CE = AD$$
Оскільки сторона АВ продовжена за точку А, то $AD = AB$. Також за теоремою Піфагора можна знайти довжину сторони АВ:
$$AB^2 = a^2 + c^2$$
$$AB^2 = 2a^2 + 10,24 \text{ см}^2$$
Оскільки трикутник АВС не є рівностороннім, то $a \neq c$, тому можемо записати:
$$AB^2 > 2a^2$$
$$AB^2 > 2c^2$$
$$AB > \sqrt{2}c$$
Так як на продовженні сторони ВС за точку В отримали точку К, то $KB > BC$. Отже, можемо записати:
$$KB + BC + CE > 2BC + CE = 2h$$
Оскільки $AD = AB > \sqrt{2}c$ і $KB + BC + CE > 2h$, то можна скласти наступну нерівність:
$$AD > 2h > KB + BC + CE$$
Але за умовою задачі $KB + BC + CE = AD$, отже, маємо:
$$AD > 2h > AD$$
Отримали протиріччя, тому припускаємо, що трикутник АВС є рівностороннім.

Так як трикутник АВС є рівностороннім, то всі його висоти є також бісектрисами і медіанами. Зокрема, висота h є бісектрисою кута АВС і медіаною до сторони ВС. Отже, точка К є серединою відрізка ВЕ. Також точки D і Е є симетричними відносно середини сторони ВС, тому вони лежать на одній прямій з точкою К. Отже, трикутник DKE є рівнобедреним і має кут 60 градусів при вершині К. Так як кут АВС дорівнює 60 градусів, то трикутник DKE є рівностороннім.