Question

Сумма первых 5 членов арифметической прогрессии на 150 меньше суммы следующих пяти её членов. На сколько одиннадцый член прогрессии больше первого? ​

Answer 1

Ответ: на 60 .

Арифметическая прогрессия:  

$\bf \underbrace{\bf a_1\ ,\ a_2\ ,\ a_3\ ,\ a_4\ ,\ a_5}_{S_1}\ ,\ \underbrace{\bf a_6\ ,\ a_7\ ,\ a_8\ ,\ a_9\ ,\ a_{10}}_{S_2}\ ,\ a_{11}\ ,\ ...$

Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна  

$\bf S_{1}=\dfrac{a_1+a_5}{2}\cdot 5=\dfrac{a_1+(a_1+4d)}{2}\cdot 5=\dfrac{2a_1+4d}{2}\cdot 5=(a_1+2d)\cdot 5\ ,\\\\S_1=5a_1+10d$  

Cумма следующих пяти членов арифметической прогрессии равна

$\bf S_2=\dfrac{a_6+a_{10}}{2}\cdot 5=\dfrac{(a_1+5d)+(a_1+9d)}{2}\cdot 5=(a_1+7d)\cdot 5=5a_1+35d$  

По условию  $\bf S_1$  на 150 меньше  $\bf S_2$  .  Поэтому

$\bf S_1+150=S_2\ \ \Rightarrow \ \ \ 5a_1+10d+150=5a_1+35d\ \ ,\\\\10d+150=35d\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 35d-10d=150\ \ ,\ \ 25d=150\ \ ,\ \ d=6$  

Найдём разность 11-го  и первого членов арифм. прогрессии.

$\bf a_{11}=a_1+10d\\\\a_{11}-a_1=(a_1+10d)-a_1=10d=10\cdot 6=60$  

11-ый член арифм. прогрессии  на 60 больше первого её члена .