Question

Задание 12. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, в которой b2 + b3 = 18, b4 - b2 = 18. = [4]​

Answer 1

Ответ:

93.

Пошаговое объяснение:

Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, в которой $b{_2} +b{_3}=18, b{_4}- b{_2}= 18$

Воспользуемся формулой n- го члена геометрической прогрессии$b{_n}= b{_1}\cdot q^{n-1}$ , выразим через первый член и знаменатель и решим систему уравнений.

$\left \{\begin{array}{l} b{_2} +b{_3}=18, \\ b{_4}- b{_2}= 18; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} b{_1} \cdot q+b{_1}\cdot q^{2} =18, \\ b{_1}\cdot q^{3} - b{_1}\cdot q= 18; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} b{_1} \cdot q\cdot(1+q) =18, \\ b{_1}\cdot q}\cdot (q^{2} - 1)= 18. \end{array} \right.$

Разделим почленно второе уравнение на первое и получим

$\dfrac{q^{2}-1 }{1+q} =1;\\\\\dfrac{(q-1 )(q+1)}{1+q} =1;\\\\q-1 =1 ;\\\\q= 2$

Найдем первый член геометрической прогрессии, подставим найденное значение в первое уравнение:

$b{_1} \cdot 2\cdot(1+2) =18;\\b{_1} \cdot 2\cdot3 =18;\\6b{_1} =18;\\b{_1} =18:6;\\b{_1} =3$

Воспользуемся формулой суммы n- первых членов геометрической прогрессии и найдем сумму пяти первых членов геометрической прогрессии.

$S{_n}= \dfrac{b{_1}\cdot (q^{n} -1)}{q-1 } ;\\\\S{_5}= \dfrac{b{_1}\cdot (q^{5} -1)}{q-1 }$

$S{_5}= \dfrac{3\cdot (2^{5} -1)}{2-1 }=\dfrac{3\cdot(32-1)}{1} =3\cdot 31 =93.$

#SPJ1