Дам 100б! Найдите площадь полной
поверхности прямой призмы, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом при основании 30°, если диагональ большей боковой грани образует с плоскостью основания угол В. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.
Ответы
Ответ:
Для начала нарисуем схематический рисунок данной прямой призмы:
```
A _________ B
/ /
/ /
/ /
/ /
/_________
C D
```
Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = AC = a.
Пусть O - вершина треугольника ABC, то есть высота призмы проходит через вершину O.
Пусть D - середина стороны AB, то есть OD - высота прямой призмы, и DC - диагональ меньшей боковой грани.
Также, пусть E - точка пересечения диагонали большей боковой грани и плоскости основания.
У нас есть следующие данные:
AB = BC = AC = a (боковая сторона равнобедренного треугольника)
∠B = 30° (угол при основании равнобедренного треугольника)
∠BEO = ∠B = 30° (угол, образованный диагональю большей боковой грани и плоскостью основания)
Найдем площадь полной поверхности прямой призмы.
1. Найдем длину стороны треугольника AB:
В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 30°, поэтому у нас есть:
∠CAB = ∠CBA = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 30°) / 2 = 75°
Так как у нас есть равнобедренный треугольник, то:
∠ABC = ∠ACB = (180° - ∠B - ∠CAB) = (180° - 30° - 75°) = 75°
В треугольнике ABC у нас есть два угла, равных 75°, следовательно, угол ABC также равен 75°.
Теперь мы можем использовать закон синусов, чтобы найти сторону AB:
sin(75°) / a = sin(30°) / AB
Переставим и решим относительно AB:
AB = (a * sin(30°)) / sin(75°)
2. Найдем длину стороны AC:
AC = a
3. Найдем площадь боковой поверхности призмы:
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей прямоугольных треугольников AOD и BOC:
S_бок = S_AOD + S_BOC
Площ
адь прямоугольного треугольника AOD:
S_AOD = (1/2) * OD * AD
Площадь прямоугольного треугольника BOC:
S_BOC = (1/2) * OC * BC
Найдем значения OD, AD, OC и BC:
Очевидно, что OD = DC/2.
Также, по теореме Пифагора, в треугольнике ABD:
BD^2 = AD^2 + AB^2
Подставим известные значения:
(a/2)^2 = AD^2 + (AB)^2
AD = sqrt((a/2)^2 - (AB)^2)
В треугольнике OBC у нас есть два угла, равных 75°, следовательно, угол OBC также равен 75°.
Так как AB = BC, то треугольник ABC является равносторонним, и угол BAC = 60°.
Используя теорему косинусов в треугольнике ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(BAC)
Подставим известные значения:
a^2 = (AB)^2 + (AB)^2 - 2 * (AB)^2 * cos(60°)
a^2 = 2 * (AB)^2 - (AB)^2
(AB)^2 = a^2 / 3
AB = sqrt(a^2 / 3)
Очевидно, что OC = BC/2.
По теореме Пифагора, в треугольнике OBC:
BC^2 = OC^2 + OB^2
Подставим известные значения:
BC^2 = (BC/2)^2 + (AB)^2
Решим относительно BC:
BC^2 - (BC/2)^2 = (AB)^2
BC^2 - BC^2/4 = (AB)^2
BC^2 = (AB)^2 * 4
BC = 2 * AB
Теперь мы можем найти значения AD, OD, BC и OC.
4. Найдем площадь основания призмы:
Площадь основания равна площади равнобедренного треугольника ABC:
S_осн = (sqrt(3) / 4) * a^2
5. Найдем площадь полной поверхности призмы:
S_пол = S_бок + 2 * S_осн
Теперь давайте выполним все вычисления.