Question

найти площу фігури. обмеженої лініями y=2/1+x^2 і у=х^2

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3\pi -2 }{3}$  ед²

Пошаговое объяснение:

Найти площу фігури. обмеженої лініями y=2/(1+x^2) і у=х^2

Найдем точки пересечения данных графиков

$\dfrac{2}{x^2 + 1} = x^2 \\\\\ x^4 + x^2 - 2 = 0 \\\\\ x^2 = t \geqslant 0 ~ , ~ x^4 =t^2 \\\\ t^2 + t -2 = 0 \\\\ (t - 1)(t+2 ) = 0 \\\\ (x^2 -1)(x^2 + 2) = 0$

Уравнение во второй скобке действительных корней не имеет , а в первой выходят корни

$x^2 - 1 =0 \\\\ x_{1,2} = \pm 1$

Найдем площадь искомой фигуры  с помощью формулы

$S =\displaystyle \int\limits^a_b \Big ( f_1(x) - f_2(x) \Big ) \, dx$

Где $f_1 (x)$  - функция которая возрастает быстрее функции $f_2(x)$  на отрезке , концы которого являются пределами интегрирования
[ b ; a ]

По графику видно , что на отрезке [-1 ; 1]  функция $y = \dfrac{2}{x^2 + 1}$  растет быстрее  функции $y =x^2$

Тогда :

$S = \displaystyle \int\limits^{1}_{-1} \bigg ( \dfrac{2}{x^2 + 1}- x^2 \bigg ) \, dx = \int\limits^{1}_{-1} \dfrac{2}{x^2 + 1} \; dx - \int\limits^{1}_{-1} x^2 \; dx =$

$\displaystyle = (2\mathrm{arctg} ~ x)\bigg |^{1}_{-1} -\bigg ( \frac{x^3}{3}\bigg ) \Bigg |^{1}_{-1} = 2\cdot \Big( \mathrm{arctg} ~ 1 - \mathrm{arctg} (-1) \Big) - \Bigg (\frac{1}{3 } - \bigg (-\frac{1}{3} \bigg) \Bigg) =\\\\\\\ =2 \cdot \Bigg ( \frac{\pi }{4} -\bigg(-\frac{\pi }{4} \bigg) \Bigg ) -\frac{2}{3} =2\cdot \frac{\pi }{2} - \frac{2}{3} =\frac{3\pi -2}{3}$

#SPJ1