Question

В прямоугольнике ABCD окружность с центром т.О. АТ;ВН;СК;DM - касательные. АТ=34см; ВН=31см; СК=46см. Найдите касательную DM.​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Соединим BO и OH. Получим треугольник BOH:

Он прямоугольный, так как $\angle BHO=90^\circ$, а его сторона $OH$ равна $r$ - радиусу окружности.

Тогда по теореме Пифагора для этого треугольника найдем $BO^2:$

$BO^2=31^2+r^2$

Аналогично из треугольников $AOT$, $COK$ и $DOM$ имеем:

$AO^2=34^2+r^2,\;CO^2=46^2+r^2,\;DO^2=x^2+r^2$ (здесь $x=DM$)

Теперь проведем через центр окружности O прямые, параллельные сторонам прямоугольника BC и AB. Пусть они пересекают прямоугольник в точках $J,\;E,\;G,\;I$ (см. рисунок).

Введем обозначения:

$BE=AI=w,\;BJ=CG=q,\;JA=GD=z,\;EC=ID=p$

Понятно, что треугольники $BOE,\;OEC,\;JOA,\;ODI$ прямоугольные.

Запишем для каждого из них теорему Пифагора и получим систему:

$\left\{\begin{array}{c}\left(31^2+r^2\right)-q^2=w^2\\\left(46^2+r^2\right)-q^2=p^2\\\left(34^2+r^2\right)-w^2=z^2\\\left(x^2+r^2\right)-z^2=p^2\end{array}\right;$

Выразим из последней строки системы $x^2:$

$x^2=p^2+z^2-r^2$

Подставляем $p^2$ из второй строки системы:

$x^2=46^2+r^2-q^2+z^2-r^2=46^2-q^2+z^2$

Подставляем $z^2$ из третьей строки системы:

$x^2=46^2-q^2+34^2+r^2-w^2$

Подставляем $w^2$ из первой строки системы:

$x^2=46^2-q^2+34^2+r^2-31^2-r^2+q^2=46^2+34^2-31^2=2311$

Получили, что $DM=\sqrt{2311}$.

Задание выполнено!