Question

Помогите с примерами пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

1.   x ∈ [1/4; +∞)

2.   x ∈ (-∞; -1/2)

3.   x ∈ (-∞; 2]

4.   х ∈ (2; 3)

5.   x ∈ (-5; +∞)

Объяснение:

Решить неравенства:

$\displaystyle \bf 1.\;5^{4x+2}\geq \left(\frac{1}{125}\right)^{-1}$

$\displaystyle \bf \boxed { a^{-n}=\frac{1}{a^n} }$

$\displaystyle 5^{4x+2}\geq 125\\\\5^{4x+2}\geq 5^3$

Основание степени 5 > 1 ⇒ функция возрастает.

⇒ 4x + 2 ≥ 3

4x ≥ 1     |:4

x ≥ 1/4

x ∈ [1/4; +∞)

$\displaystyle \bf 2.\;3^{2x+1}+3^{2x+3} < 10$

$\displaystyle \bf \boxed { a^{m}\cdot a^n=a^{m+n}}$

$\displaystyle 3^{2x+1}+3^{2x+1+2} < 10\\\\3^{2x+1}+3^{2x+1}\cdot 3^2 < 10\\\\3^{2x+1}+9\cdot3^{2x+1} < 10\\\\10\cdot3^{2x+1} < 10\;\;\;\;\;|:10\\\\3^{2x+1} < 1\\\\3^{2x+1} < 3^0$

Основание степени 3 > 1 ⇒ функция возрастает.

⇒ 2x + 1 < 0

2x < -1     |:2

x< -1/2

x ∈ (-∞; -1/2)

$\displaystyle \bf 3.\; 4^x-3\cdot2^x-4\leq 0$

$\displaystyle \bf \boxed { (a^{m})^n=a^{mn}}$

$\displaystyle (2^2)^x-3\cdot2^x-4\leq 0\\\\2^ {2x} -3\cdot2^x-4\leq 0$

Замена переменной:

2ˣ = t,   t > 0

t² - 3t - 4 ≤ 0

Решим методом интервалов. Найдем корни уравнения

t² - 3t - 4 = 0

По теореме Виета:

х₁ = 4;     х₂ = -1

Отметим их на числовой оси и определим знаки на промежутках:

$+++[-1]---[4]+++$

t > 0 ⇒ 0 < t ≤ 4

Обратная замена:

0 < 2ˣ ≤ 2²

Основание степени 2 > 1 ⇒ функция возрастает.

⇒ x ≤ 2

x ∈ (-∞; 2]

$\displaystyle \bf 4.\;\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-5x} > 64$

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-5x} > 2^6\\\\\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2-5x} > \left(\frac{1}{2}\right)^{-6}$

Основание степени 0 < 1/2 < 1 ⇒ функция убывает. Знак неравенства перевернется.

х² - 5х < -6

x² - 5x + 6 < 0

Корни по теореме Виета:

х₁ = 2;     х₂ = 3

$+++(2)---(3)+++$

х ∈ (2; 3)

$\displaystyle \bf 5.\;25^{-x+3} > 5^{1-3x}$

$(5^2)^{-x+3} > 5^{1-3x}\\\\5^{-2x+6} > 5^{1-3x}$

Основание степени 5 > 1 ⇒ функция возрастает.

⇒ -2x + 6 > 1 - 3x

x > -5

x ∈ (-5; +∞)

#SPJ1