Question

допоможіть з диф. рівняннями 1 та 2
дуже треба срочно

Answer 1

Ответ:

1) Дифф. уравнение 1 пор. с разделяющимися переменными .

$\displaystyle \bf \sqrt{1-x^2}\, dy-\sqrt{1-y^2}\, dx=0\\\\\\\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\\\\\arcsin\, y=arcsin\, x+C\\\\y=sin\Big(arcain\, x+C\Big)$  

2)  Линейное дифф. уравнение 1 пор.

$\displaystyle \bf y'+\dfrac{2y}{x}=\frac{1}{x^2}$  

Замена:   $\bf y=uv\ ,\ \ y'=u'v+uv'$  

$\displaystyle \bf u'v+uv'+\dfrac{2uv}{x}=\frac{1}{x^2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ u'v+u\cdot \Big(v'+\dfrac{2v}{x}\Big)=\frac{1}{x^2}\ \ ,\\\\\\a)\ \ v'+\dfrac{2v}{x}=0\ \ ,\ \ \frac{dv}{dx}=-\dfrac{2v}{x}\ \ ,\ \ \ \int \frac{dv}{v}=-2\int \frac{dx}{x}\ \ ,\\\\\\ln|v|=-2\cdot ln|x|\ \ ,\ \ \ v=x^{-2}\ \ ,\ \ v=\frac{1}{x^2}\\\\\\b)\ \ u'v=\frac{1}{x^2}\ \ ,\ \ \ \frac{du}{dx}\cdot \frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}\ \ ,\ \ \ \int du=\int dx\ \ ,\ \ \ u=x+C\\\\\\c)\ \ y=uv\ ,\ \ \ y_{obshee}=\frac{1}{x^2}\cdot (x+C)$  

Получили общее решение .

d)  Найдём частное решение , удовлетворяющее начальным

условиям    $\bf y(1)=2$  :

$\bf y(1)=\dfrac{1}{1^2}\cdot (1+C)\ \ ,\ \ \ 1+C=2\ \ ,\ \ C=1\\\\y_{chastnoe}=\dfrac{1}{x^2}\cdot (x+1)\ \ ,\ \ \ y_{chastnoe}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$