Question

1. Известно, что sina + cosa = a. Найдите значение выражения sin^6a + cos^6a.

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

Преобразуем выражение:

$\sin^6\alpha +\cos^6\alpha =(\sin^2\alpha)^3 +(\cos^2\alpha)^3=$

$=\big(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\big)\big((\sin^2\alpha )^2-\sin^2\alpha \cos^2\alpha +(\cos^2\alpha )^2\big)=$

$=1\cdot\big((\sin^2\alpha )^2 +2\sin^2\alpha \cos^2\alpha+(\cos^2\alpha )^2-3\sin^2\alpha \cos^2\alpha\big)=$

$=(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha )^2-3\sin^2\alpha \cos^2\alpha=1^2-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2=1-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2$

Необходимо найти произведение синуса и косинуса, зная их сумму. Рассмотрим известное соотношение и возведем в квадрат левую и правую его части:

$\sin \alpha + \cos\alpha = a$

$(\sin \alpha + \cos\alpha)^2 = a^2$

$\sin^2 \alpha + \cos^2\alpha+2\sin\alpha \cos\alpha = a^2$

$1+2\sin\alpha \cos\alpha = a^2$

$2\sin\alpha \cos\alpha = a^2-1$

$\sin\alpha \cos\alpha = \dfrac{a^2-1}{2}$

Подставим в ранее полученное соотношение для суммы шестых степеней:

$\sin^6\alpha +\cos^6\alpha =1-3(\sin\alpha \cos\alpha )^2=1-3\cdot\left( \dfrac{a^2-1}{2} \right)^2=$

$=1- \dfrac{3(a^4-2a^2+1)}{4} =\dfrac{4-3a^4+6a^2-3}{4} =\boxed{\dfrac{1+6a^2-3a^4}{4}}$