Question

Розв’язати матричне рівняння ∙ = . Якщо В – вироджена матриця, то
розв’яжіть рівняння ∙ =

Answer 1

Ответ:

Проверим, вырожденная ли матрица В . Вычислим определитель

матрицы В .

$\bf detB=\left|\begin{array}{ccc}2&-1&3\\3&5&-1\\-1&5&4\end{array}\right|=2\, (20+5)+(12-1)+3\, (15+5)=121\ne 0$

Матрица не вырожденная . Решаем уравнение   $\bf B\cdot X=A$  .

$\bf B^{-1}\cdot B\cdot X=B^{-1}\cdot A\ \ \ \Rightarrow \ \ \ X=B^{-1}\cdot A$  

Найдём матрицу, обратную матрице В . Найдём алгебраические дополнения матрицы В .

$\bf A_{11}=25\ \ ,\ \ A_{12}=-11\ \ ,\ \ A_{13}=20\\\\A_{21}=19\ \ ,\ \ A_{22}=11\ \ ,\ \ A_{23}=-9\\\\A_{31}=-14\ \ ,\ \ A_{32}=11\ \ ,\ \ A_{33}=13$    

$\bf B^{-1}=\dfrac{1}{121}\left(\begin{array}{ccc}25&19&-14\\-11&11&11\\20&-9&13\end{array}\right)$    

$\bf X=B^{-1}\cdot A=\dfrac{1}{121}\left(\begin{array}{ccc}25&19&-14\\-11&11&11\\20&-9&13\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\1&5&-3\\3&4&2\end{array}\right)=\\\\\\=\dfrac{1}{121}\cdot \left(\begin{array}{ccc}2&39&-60\\33&99&-22\\50&7&73\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{121}&\frac{39}{121}&-\frac{60}{121}\\\frac{33}{121}&\frac{99}{121} &-\frac{22}{121}\\\frac{50}{121}&\frac{7}{121}&\frac{73}{121}\end{array}\right)$