Question

Найти $x - y$ если $(x + 5)(y - 5) = (x + y)^2$

Answer 1

Ответ:

x – y = –10

Объяснение:

Информация: Неравенство Коши

$\tt \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2},$

для любых a ≥ 0 и b ≥ 0.

Решение. Обозначим u = x+5, v = y–5. Тогда

(x + y)² = (x + 5 + y – 5)² = (u + v)².

После этого получим уравнение

u·v = (u + v)².

Так как (u + v)² ≥ 0, то u·v ≥ 0, то есть u ≥ 0 и v ≥ 0 или u ≤ 0 и v ≤ 0. Пусть u ≥ 0 и v ≥ 0. Применим неравенство Коши:

$\tt u \cdot v \leq (\dfrac{u+v}{2})^2.$

Тогда

$\tt (u + v)^2 \leq (\dfrac{u+v}{2})^2 \\\\\dfrac{3}{4} \cdot (u + v)^2 \leq 0.$

Из последнего неравенства получим, что (u + v)² = 0 или u = - v. Но u ≥ 0 и v ≥ 0, поэтому u = - v выполняется при u = v = 0. Отсюда, x+5 = 0 и y–5 = 0, то есть x = –5, y = 5. Наконец, x – y = –5 –5 = –10.

Если u ≤ 0 и v ≤ 0, то  применим неравенство Коши для –u и –v:

$\tt u \cdot v=(-u) \cdot (-v) \leq (\dfrac{(-u)+(-v)}{2})^2=(\dfrac{u+v}{2})^2.$

Также получим, что x = –5, y = 5. Наконец, x – y = –5 –5 = –10.

#SPJ1