Question

y'-3y=4e^-x Дифференциальное линейное уравнение. Решите

Answer 1

Ответ:

• $\displaystyle y=Ce^{3x}-e^{-x}$

Пошаговое объяснение:

$y'-3y=4e^{-x}$

Перед нами обычное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида $y'+p(x)\cdot y=q(x)$. Решаются такие уравнения заменой $y=uv, \;y'=u'v+uv'$.

Замена:

$\displaystyle u'v+uv'-3uv=4e^{-x}\\u'v+u(v'-3v)=4e^{-x}\\\left \{ {{v'-3v=0} \atop {u'v=4e^{-x}}} \right. \; \Leftrightarrow \; \left \{ {{ \frac{dv}{dx}=3v } \atop {u'v=4e^{-x}}} \right. \; \Leftrightarrow \;\left \{ {{ \frac{dv}{v}=3dx } \atop {u'v=4e^{-x}}} \right. \; \Leftrightarrow \;$

$\displaystyle \; \Leftrightarrow \;\left \{ {{ \int\limits { \frac{dv}{v} } =\int\limits {3dx} } \atop {u'v=4e^{-x}}} \right. \; \Leftrightarrow \;\left \{ {{\ln v=3x} \atop {u'v=4e^{-x}}} \right. \; \Leftrightarrow \;\left \{ {{v=e^{3x}} \atop {u'\cdot e^{3x}=4e^{-x}}} \right. \; \Leftrightarrow \;$

$\displaystyle \; \Leftrightarrow \;\left \{ {{v=e^{3x}} \atop { \frac{du}{dx}=4e^{-4x} }} \right. \; \Leftrightarrow \;\left \{ {{v=e^{3x}} \atop {\int\limits { du } = \int\limits {4e^{-4x}dx} }} \right. \; \Leftrightarrow \;\left \{ {{v=e^{3x}} \atop { \int\limits { du } = 4\cdot (-\frac{1}{4}) \int\limits {e^{-4x}d(-4x) }} \right. \; \Leftrightarrow \;\\\; \Leftrightarrow \;\left \{ {{v=e^{3x}} \atop {u=-e^{-4x}+C}} \right.$

Обратная замена:

$\displaystyle y=uv=(-e^{-4x}+C)\cdot e^{3x}=Ce^{3x}-e^{-x}$