Question

1. При яких а рівняння (3cos2x-a+4)(cos3x+2)=0 має розв’язки?
2. При яких значеннях a нерівність 2cos(x+1)≥a+3 виконується для всіх x∈R?
ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ!

Answer 1

Ответ:

1. Розкриваємо дужки:

3cos2x * cos3x + 2cos3x - a * cos2x - 4a = 0

Переписуємо у вигляді полінома змінної t = cos x:

3t^4 + 2t^3 - at^2 - 4a = 0

Для того, щоб рівняння мало розв'язки, дискримінант цього полінома повинен бути не менше нуля:

D = (2/3)^2 - 4 * 3 * (-a/3) ≥ 0

4/9 + 4a ≥ 0

a ≥ -1/9

Отже, рівняння має розв'язки для всіх a ≥ -1/9.

2. Перепишемо нерівність у вигляді:

2cos(x+1) - 3 ≥ -a

cos(x+1) ≥ (-a+3)/2

За допомогою графіка функції cos(x+1) можна побачити, що ця нерівність виконується для всіх x, якщо (-a+3)/2 ≤ 1 або -a ≤ -1, тобто a ≥ 1.

Отже, нерівність виконується для всіх x при a ≥ 1.