Question

Решите уравнения

$3x^2+15x+2sqrt{x^2+5x+1} = 2 \ sqrt[3]{x-10}+sqrt[3]{x-17} = 3$

Answer 1

$3x^2+15x+2sqrt{x^2+5x+1}=2$
перепишем в виде
$3x^2+15x+3+2sqrt{x^2+5x+1}-5=0$
перепишем в виде
$3(x^2+5x+1)+2sqrt{x^2+5x+1}-5=0$
вводим замену
$sqrt{x^2+5x+1}=t geq 0; x^2+5x+1=t^2$
получаем квадратное уравнение относительно замены
$3t^2+2t-5=0$
или разложив на множители
$(t-1)(3t+5)=0$
произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0
$3t+5=0;t_1=-frac{5}{3}<0$ - сторонний
$t-1=0;t_2=1$
возвращаемся к замене
$t=1;x^2+5x+1=1^2$
упрощая и т.д.
$x^2+5x=0$
$x(x+5)=0$
$x-0;x_1=0$
$x+5=0;x_2=-5$
ответ: -5; 0
=================
$sqrt[3]{x-10}+sqrt[3]{x-17}=3$
слева монотонно возрастающая функция как сумма двух монотонно возрастающих, в правой части константа
по теореме о монотонных функциях(теорема про корень)
данное уравнение либо имеет ровно одно решение, либо не имеет решений
тривиальный корень х=18 довольно легко угадывается
ответ: 18