СРОЧНО!!!!! С объяснением!!!
У Васи был очень красивый бумажный выпуклый 14-угольник, все стороны которого были равны. Его младший брат нашел ножницы и аккуратно разрезал его по прямой линии на две части, так что получилось 2 многоугольника, (не обязательно одинаковые) затем он взял один полученных многоугольников и разрезал его по прямой линии еще на две части, так он повторял до тех пор, пока на столе не оказалось 11 многоугольников с одинаковым количеством углов. Какое количество углов могло быть у каждого из этих многоугольников? Найдите все решения и докажите, что других нет.
Ответы
Ответ:
у каждого многоугольника 4 угла
Объяснение:
У Васи был очень красивый бумажный выпуклый 14-угольник, все стороны которого были равны. Его младший брат нашел ножницы и аккуратно разрезал его по прямой линии на две части, так что получилось 2 многоугольника, (не обязательно одинаковые) затем он взял один полученных многоугольников и разрезал его по прямой линии еще на две части, так он повторял до тех пор, пока на столе не оказалось 11 многоугольников с одинаковым количеством углов. Какое количество углов могло быть у каждого из этих многоугольников? Найдите все решения и докажите, что других нет.
Решение:
Результат разрезания выпуклого 14-угольника (n₀=14) на 11 многоугольников с одинаковым количеством углов говорит о том, что сделали 10 разрезов (k=10) по прямой линии и сумма всех углов многоугольников кратна 11.
Варианты разрезания и результат:
1) Если каждый раз многоугольник разрезали по диагонали (т.е. линия разреза проходила через вершины углов), то сумма всех углов образованных многоугольников (Sn) с каждым разрезом увеличивалась на 2:
Sn=n₀+2*k=14+2*10= 34
2) Если каждый раз многоугольник разрезали по линии, проходящей через вершину угла и противоположную сторону, то сумма всех углов образованных многоугольников (Sn) с каждым разрезом увеличивалась на 3:
Sn=n₀+3*k=14+3*10=44
3) Если каждый раз многоугольник разрезался по линии, проходящей только через стороны, то сумма всех углов образованных многоугольников (Sn), с каждым разрезом увеличивалась на 4:
Sn=n₀+4*k=14+4*10=54
4) Если же при разрезании использовали разные варианты 1-3, то сумма всех углов образованных многоугольников 34≤Sn≤54.
В этих пределах кратна 11 только сумма углов Sn=44.
Следовательно, полученные в результате 11 многоугольников имели Sn:11=44:11=4 угла.
На фото 1-2 изображены примеры разрезания выпуклого 14-угольника на 11 четырехугольников.
