Квадрат 8×8 розрізали лініями клітин на частини однакового периметра. Яку найбільшу кількість частин можна отримати, якщо ми знаємо, що не всі частини були прямокутної форми? (Нагадуємо, що квадрат – теж прямокутник.) Не забудьте довести, що знайдена вами кількість є максимальною і навести приклад розрізання (малюнок треба вислати прикріпленим файлом).
Ответы
Максимальное количество частей, которое можно получить, равно 32. Докажем это.
Рассмотрим произвольное разрезание квадрата на части одинакового периметра, состоящее из n прямоугольников. Пусть P будет периметром каждого из прямоугольников, а A – площадью всего квадрата. Тогда периметр всего квадрата равен 32, а его площадь равна 64. На основании формулы для площади S = a * b и соотношения P = 2 * (a + b) получаем:
A = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn,
где ai и bi – соответствующие стороны i-го прямоугольника.
Исходя из условий задачи, все прямоугольники имеют одинаковый периметр P. Следовательно, для каждого из них выполняется условие P = 2 * (a + b), откуда
a + b = P / 2.
Выразим a через b:
a = P / 2 - b.
Тогда
A = b1 * (P / 2 - b1) + ... + bn * (P / 2 - bn) =
= (P / 2) * (b1 + ... + bn) - (b1^2 + ... + bn^2) <=
<= (P / 2) * (b1 + ... + bn),
где последнее неравенство следует из того, что сумма квадратов любых n чисел не превосходит квадрата их суммы.
Таким образом, площадь всего квадрата A не превосходит (P / 2) * n, где n – количество прямоугольников в разрезании. Из этого вытекает, что
n <= 2 * A / P.
Подставляя значения P = 32, A = 64, получаем
n <= 4,
то есть нельзя разрезать квадрат на более чем 4 прямоугольника одинакового периметра. Однако существует разрезание на 4 прямоугольника, демонстрирующее, что максимальное количество частей равно 32: