Question

Знайти загальний розв'язок диферанційного рівняння

Answer 1

Ответ.

Дифференциальное уравнение  с однородными функциями . Решаем с помощью замены .

$\displaystyle \bf x\, dy=y\, ln\dfrac{y}{x}\, dx\\\\\\\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{x}\cdot ln\dfrac{y}{x}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ u=\dfrac{y}{x}\ \ ,\ \ y=ux\ ,\ \ y'=u'x+u\\\\\\u'x+u=u\cdot ln\, u\ \ ,\ \ u'x=u\cdot (ln\, u-1)\ \ ,\ \ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{u\cdot (ln\, u-1)}{x}\ \ , \\\\\\\int \frac{du}{u\cdot (ln\, u-1)}=\int \frac{dx}{x} \\\\\\ln|\, ln\, u-1\, |=ln|\, x\, |+lnC\ \ \ \Rightarrow \ \ \ ln\, u-1=Cx\ \ ,$    

$\bf \displaystyle ln\frac{y}{x}=Cx+1\ \ ,\ \ \ \frac{y}{x}=e^{Cx+1}\ \ ,\ \ \ \boxed{\bf \ y=x\cdot e^{Cx+1}\ }$