Question

Представьте ввиде многочлена
$(a + b + c)^{4} = ?$

Answer 1

Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых, сложенной со всевозможными удвоенными попарными произведениями этих слагаемых.

Схематично это можно записать так:

$(a+b+c+\ldots+y+z)^2=a^2+b^2+c^2+\ldots+y^2+z^2\ +$

$+\ 2ab+2ac+\ldots+2ay+2az+2bc+\ldots+2by+2bz+\ldots+2yz$

Распишем четвертую степень как квадрат квадрата:

$(a+b+c)^4=((a+b+c)^2)^2=(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)^2=$

$=\Big((a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2+(2ab)^2+(2ac)^2+(2bc)^2\Big)\ +$

$+\ \Big(2\cdot a^2\cdot b^2+2\cdot a^2\cdot c^2+2\cdot a^2\cdot 2ab+2\cdot a^2\cdot 2ac+2\cdot a^2\cdot 2bc\Big)\ +$

$+\ \Big(2\cdot b^2\cdot c^2+2\cdot b^2\cdot 2ab+2\cdot b^2\cdot 2ac+2\cdot b^2\cdot 2bc\Big)\ +$

$+\ \Big(2\cdot c^2\cdot 2ab+2\cdot c^2\cdot 2ac+2\cdot c^2\cdot 2bc\Big)\ +$

$+\ \Big(2\cdot 2ab\cdot 2ac+2\cdot2ab\cdot 2bc\Big)+\Big(2\cdot2ac\cdot 2bc\Big)=$

$=a^4+b^4+c^4+4a^2b^2+4a^2c^2+4b^2c^2\ +$

$+\ 2a^2b^2+2a^2c^2+4a^3b+4a^3c+4a^2bc\ +$

$+\ 2b^2c^2+4ab^3+4ab^2c+4b^3c\ +$

$+\ 4abc^2+4ac^3+4bc^3\ +$

$+\ 8a^2bc+8ab^2c+8abc^2=$

$=a^4+b^4+c^4+6a^2b^2+6a^2c^2+6b^2c^2\ +$

$+\ 4a^3b+4a^3c+4ab^3+4b^3c+4ac^3+4bc^3+12a^2bc+12ab^2c+12abc^2$