Срочно!!! Помогите решить задачу!!!
Знайдіть первісну для функції f(x) = 1/3cosx/3+4sin4x, графік якої проходить через точку M (п; 1).
Ответы
Ответ:
Перш за все, варто звернути увагу на те, що функція f(x) = (1/3)cos(x/3) + 4sin(4x) не має однозначного первісного (антипохідної). Вона може мати безліч первісних з додаванням довільної константи.
Однак, якщо ви шукаєте первісну, графік якої проходить через точку M (п; 1), то можемо використати цю інформацію для знайдення константи.
Припустимо, що F(x) є первісною для функції f(x). Тоді, ми можемо записати:
F(x) = (1/3)∫cos(x/3) dx + 4∫sin(4x) dx,
де ∫ позначає знак інтегралу.
Обчислимо ці інтеграли:
∫cos(x/3) dx = 3sin(x/3) + C₁,
∫sin(4x) dx = -(1/4)cos(4x) + C₂,
де C₁ та C₂ - це довільні константи.
Тоді, знаходженням первісної F(x) для функції f(x) виглядатиме наступним чином:
F(x) = (1/3)(3sin(x/3) + C₁) + 4(-(1/4)cos(4x) + C₂),
F(x) = sin(x/3) + (4/3)cos(4x) + (1/3)C₁ + (4/3)C₂.
Тепер, ми знаємо, що графік первісної проходить через точку M (п; 1). Підставимо координати точки M в F(x):
1 = sin(п/3) + (4/3)cos(4п) + (1/3)C₁ + (4/3)C₂.
Тут підставимо значення sin(п/3) = sqrt(3)/2 та cos(4п) = 1, тоді ми отримаємо:
1 = sqrt(3)/2 + (4/3) + (1/3)C₁ + (4/3)C₂.
Ми маємо одне рівняння з двома невідомими (C₁ та C₂), тому нам потрібна ще одна інформація, щоб вирішити цю систему. Без додаткових даних, не можливо однозначно знайти значення C₁ та C₂, а отже, не можна знайти конкретну первісну, графік якої проходить через точку M (п; 1