Question

Довести що при будь яких натуральних значеннях n вираз n⁸+4n⁷+6n⁶+4n⁵+n⁴ кратний 16​

Answer 1

Преобразуем выражение:

$n^8+4n^7+6n^6+4n^5+n^4=n^4(n^4+4n^3+6n^2+4n+1)\ \boxed{=}$

Самый быстрый вариант - это заметить, что оставшееся в скобках выражение можно разложить на множители, используя формулу бинома Ньютона. В качестве подсказки можно использовать коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1 (строка из треугольника Паскаля):

$\boxed{=}\ n^4(n+1)^4$

Если этого не заметить или не знать, выражение в скобках можно разложить на множители другими способами, например, делением в столбик или группировкой:

$n^4+4n^3+6n^2+4n+1=n^4+n^3+3n^3+3n^2+3n^2+3n+n+1=$

$=n^3(n+1)+3n^2(n+1)+3n(n+1)+(n+1)=(n+1)(n^3+3n^2+3n+1)$

Полученное выражение во вторых скобках должно быть более знакомым - это куб суммы:

$(n+1)(n^3+3n^2+3n+1)=(n+1)(n+1)^3=(n+1)^4$

Так или иначе, исходное выражение приняло вид:

$n^4(n+1)^4=\big(n\cdot(n+1)\big)^4$

В четвертую степень возводится произведение двух чисел. Заметим, что эти числа - разной четности: одно четное, другое нечетное.

Значит, в итоговом выражении присутствует множитель, равный четвертой степени четного числа. В общем виде, четное число можно записать как $2k,\ k\in\mathbb{N}$, а его четвертую степень как $(2k)^4=16k^4$.

Теперь видно, что итоговое выражение содержит в своем разложении на множители множитель 16, а значит все это выражение кратно 16. Доказано.