Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями
y = x^2+2, y =x+4.
Ответы
Ответ:
Щоб обчислити площу фігури, обмеженої двома лініями y = x^2+2 та y = x+4, потрібно знайти точки їх перетину і обчислити площу між цими двома кривими.
Спочатку знайдемо точки перетину. Поставимо рівняння x^2+2 = x+4 у рівність:
x^2 - x + 2 - 4 = 0,
x^2 - x - 2 = 0.
Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Застосуємо квадратний корінь:
x = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(1)(-2))) / (2(1)).
Проведемо розрахунки:
x = (1 ± √(1 + 8)) / 2,
x = (1 ± √9) / 2,
x = (1 ± 3) / 2.
Таким чином, маємо дві точки перетину: x = (1 + 3) / 2 = 2 та x = (1 - 3) / 2 = -1.
Після знаходження точок перетину, ми можемо обчислити площу фігури, яка обмежена цими двома кривими. Площу можна обчислити шляхом обчислення інтегралу від різниці цих двох функцій на відрізку між точками перетину.
S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,
де f(x) = x^2+2, g(x) = x+4, a = -1 і b = 2.
S = ∫[-1, 2] (x^2+2 - (x+4)) dx,
Проведемо розрахунки:
S = ∫[-1, 2] (x^2 - x - 2) dx.
S = [x^3/3 - x^2/2 - 2x] [-1, 2].
S = ((2^3/3 - 2^2/2 - 2(2)) - ((-1)^3/3 - (-1)^2/2 - 2(-1))).
S = (8/3 - 2 - 4) - (-1/3 - 1/2 + 2).
S = (8/3 - 2 - 12) - (-1/3 - 1/2 + 2).
S = (8/3 - 2 - 12) - (-2/6 - 3/6 + 12/6).
S = (-18/3) - (11/6).
S = -6 - 11/6.
S = -36/6 - 11/6.
S = -47/6.
Таким чином, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2+2 та y = x+4, дорівнює -47/6 одиницям площі.
Объяснение: