Question

Знайти відстань від точки перетину висот трикутника з вершинами в точках А(0; 3), В(-4; 1), С(3; 2) до його середньої лінії, паралельної стороні ВС і тангенс гострого кута між цією середньою лінією та прямою y=-4x+5

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Спочатку знайдемо координати точки перетину висот трикутника. Для цього ми можемо використати формули площі трикутника:

S = 1/2 * a * h

де a - довжина сторони трикутника, а h - висота, опущена на цю сторону.

Знайдемо довжини сторін трикутника АВС:

AB = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] = √[(-4-0)² + (1-3)²] = √20

AC = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] = √[(3-0)² + (2-3)²] = √10

BC = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] = √[(3-(-4))² + (2-1)²] = √50

Знайдемо площу трикутника за допомогою формули Герона:

p = (AB + AC + BC) / 2 = (√20 + √10 + √50) / 2 ≈ 5.077

S = √[p(p - AB)(p - AC)(p - BC)] ≈ 4.447

Тепер ми можемо знайти висоту, опущену на сторону ВС, використовуючи формулу:

h = 2S / a = 2 * 4.447 / √50 = 0.632

Знайдемо координати точки перетину висот з допомогою системи рівнянь:

y = -4x + 5 (рівняння прямої, паралельної середній лінії)

y = (2/3)x + 2 (рівняння висоти, опущеної на сторону ВС)

Розв'язуючи систему рівнянь, знаходимо координати точки перетину:

-4x + 5 = 2/3 * x + 2

x = 1.2

y = -4 * 1.2 + 5 = 0.8

Таким чином, координати точки перетину висот трикутника дорівнюють (1.2; 0.8).

Знайдемо тепер рівняння середньої лінії трикутника, паралельної стороні ВС. Для цього використовуємо формулу середньої лінії:

x = (x₁ + x₂) / 2, y = (y₁ + y₂) / 2

де (x₁, y₁) та (x₂, y₂) - координати вершин, між якими проводимо середню лінію.

Отже, координати середини сторони ВС дорівнюють:

x = (3 + (-4)) / 2 = -0.5

y = (2 + 1) / 2 = 1.5

Тепер можемо знайти тангенс гострого кута між середньою лінією та прямою y = -4x + 5:

tg(α) = -4

Для знаходження відстані від точки перетину висот до середньої лінії використаємо формулу:

d = |(y2 - y1) - tg(α) * (x2 - x1)| / √(1 + tg²(α))

де (x1, y1) - координати точки перетину висот, а (x2, y2) - координати середини сторони ВС.

Підставляємо відповідні значення:

d = |(1.5 - 0.8) - (-4) * (-0.5 - 1.2)| / √(1 + (-4)²) ≈ 0.557

Отже, відстань від точки перетину висот трикутника до його середньої лінії, паралельної стороні ВС і тангенс гострого кута між цією середньою лінією та прямою y = -4x + 5, дорівнює близько 0.557 одиниць.