Question

5. Знайдіть проміжки зростання, проміжки спадання, точки екстремуму та екстремуми функції f(x) x³ + 3x² - 24x. ​

Answer 1

Ответ:

Для знаходження проміжків зростання та спадання функції потрібно знайтиї похідну та визначити її знак на кожному інтервалі.

f(x) = x³ + 3x² - 24x

f'(x) = 3x² + 6x - 24

f'(x) = 3(x² + 2x - 8)

f'(x) = 3(x + 4)(x - 2)

Точки перетину з осю абсцис:

f(x) = x³ + 3x² - 24x

0 = x² + 3x - 24)

x₁ = 0, x₂ = -6, x₃ = 4

Таким чином, ми маємо три точки перетину з осю абсцис: (0, 0), (-6, 0) та (4, 0).

Тепер можемо побудувати таблицю знаківхідної та визначити проміжки зростання та спадання функції:

|   x   |  -∞  |  -4  |   2  |  +∞  |

|-------|------|------|------|------|

| f'(x) |  -   |  -   |  +   |  +   |

| f(x)  |  ↓   |  ↓   |  ↑   |  ↑   |

Отже, функція спадає на проміжку (-∞, -4) та зростає на проміжках (-4, 2) та (2, +∞).

Точки екстремуму можна знайти, прирівнявши похідну до нуля та знайшовши відповідні значення x:

f'(x) = 0

3(x + 4)(x - 2) = 0

x₁ = -4, x₂ = 2

Таким чином, ми маємо дві точки екстремуму: (-4, -64) та (2, -16).

Отже, проміжки зростання та спадання функції: (-∞, -4) - спадання, (-4, 2) - зростання, (2, +∞) - зростання. Точки екстремуму: (-4, -64) та (2, -16).

Пошаговое объяснение: