Помогите с решением, 100 баллов!
Ответы
Ответ:
Найдем вторую производную от решения x(t) =Acos(6t)+Bsin(6t)
\begin{gathered}\displaystyle \frac{dx}{dt } = \bigg (Acos(6t) +Bsin(6t)\bigg )'_t=-6Asin(6t)+6Bcos(6t)\\\\\\\frac{d^2x}{dt^2} =\bigg (-6Asin(6t)+6Bcos(6t)\bigg )'_t=-36Acos(6t)-36Bsin(6t)\end{gathered}
dt
dx
=(Acos(6t)+Bsin(6t))
t
′
=−6Asin(6t)+6Bcos(6t)
dt
2
d
2
x
=(−6Asin(6t)+6Bcos(6t))
t
′
=−36Acos(6t)−36Bsin(6t)
Дальше x(t) =Acos(6t)+Bsin(6t) подставим в полученную вторую производную
\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} =-36x\qquad \qquad \frac{d^2x}{dt^2} +36x=0
dt
2
d
2
x
=−36x
dt
2
d
2
x
+36x=0
т.е мы получили исходное дифференциальное уравнение.
Следовательно, x(t) =Acos(6t)+Bsin(6t) есть общее решение этого уравнения. Что и требовалось доказать.
Дальше будем искать частное решение.
Возьмем первое условие
\begin{gathered}\displaystyle x=Acos(6t)+Bsin(6t)\\\\-2 = Acos\bigg(\frac{6\pi }{4} \bigg)+Bsin\bigg(\frac{6\pi }{4} \bigg)\\\\-2=A*0+B*(-1)\\\\\boldsymbol {B=2}\end{gathered}
x=Acos(6t)+Bsin(6t)
−2=Acos(
4
6π
)+Bsin(
4
6π
)
−2=A∗0+B∗(−1)
B=2
Теперь второе условие
\begin{gathered}\displaystyle \frac{dx}{dt} =-6Asin(6t)+6Bcos(6t)\\\\12\sqrt{3} = -6Asin\bigg(\frac{3\pi}{2} \bigg)+6Bcos\bigg(\frac{3\pi}{2} \bigg)\\\\12\sqrt{3} =-6A*(-1)+6B*0\qquad \qquad \\\\\boldsymbol {A=2\sqrt{3} }\end{gathered}
dt
dx
=−6Asin(6t)+6Bcos(6t)
12
3
=−6Asin(
2
3π
)+6Bcos(
2
3π
)
12
3
=−6A∗(−1)+6B∗0
A=2
3
И тогда частное решение будет
\boldsymbol {x(t)=2\sqrt{3} cos(6t)+2sin(6t)}x(t)=2
3
cos(6t)+2sin(6t)