доведіть,що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу n в сьомому степені - n кратне 42.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Заметим, что если n=1, то n-1=0 - все выражение равно 0 и значит делится на 42
Заметим, что (n-1)*n*(n+1) есть произведение 3-х подряд идущих натуральных чисел, значит хотя бы одно из них обязательно делится на 3 , и хотя бы одно из них четное - делится на 2
Значит (n-1)*n*(n+1) делится на 2*3=6 Осталось доказать, что
(n²-n+1)*(n²+n+1) делится на 42:6=7 ( делится на 7).
(n²-n+1)*(n²+n+1) =
Рассмотрим остатки числа n, при делении на 7
n(mod7) 0 1 2 3 4 5 6
n²(mod7) 0 1 4 2 2 4 1
n^4(mod7) 0 1 2 4 4 2 1
Из таблицы заметим, что если n(mod7) =2,3,4 или 5 , то сумма
остатков =6, значит остаток всего выражения при делении на 7 =7 или 0, то есть все выражение делится на 7.
Если остаток 0 , значит n делится на 7, значит все выражение делится на 7
Если остаток 1 , значит (n-1) делится на 7, значит все выражение делится на 7
Если остаток 6 , значит (n+1) делится на 7, значит все выражение делится на 7
Таким образом мы рассмотрели все возможные случаи остатков при делении на 7 и в каждом случае доказали, что все выражение делится на 7.
А значит все выражение делится на 42