Question

доведіть,що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу n в сьомому степені - n кратне 42.
​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$n^7-n =n(n^6-1)=n(n^3-1)(n^3+1) =n(n+1)(n^2-n+1)(n-1)(n^2+n+1)$

Заметим, что если n=1, то n-1=0 - все выражение равно 0 и значит делится на 42

Заметим, что (n-1)*n*(n+1) есть произведение 3-х подряд идущих натуральных чисел, значит хотя бы одно из них обязательно делится на 3 , и хотя бы одно из них четное - делится на 2

Значит  (n-1)*n*(n+1) делится на 2*3=6  Осталось доказать, что

(n²-n+1)*(n²+n+1) делится на 42:6=7 ( делится на 7).

(n²-n+1)*(n²+n+1) =$n^4 +n^2 +1$

Рассмотрим остатки числа n, $n^{2} , n^4$ при делении на 7

n(mod7)       0     1    2    3     4    5   6

n²(mod7)     0     1    4    2     2     4   1

n^4(mod7)   0    1     2    4    4     2   1

Из таблицы заметим, что  если n(mod7) =2,3,4 или 5 , то сумма

остатков =6, значит остаток всего выражения при делении на 7 =7 или 0, то есть все выражение делится на 7.

Если остаток 0 , значит n  делится на 7, значит все выражение  делится на 7

Если остаток 1 , значит (n-1)  делится на 7, значит все выражение  делится на 7

Если остаток 6 , значит (n+1)  делится на 7, значит все выражение  делится на 7

Таким образом мы рассмотрели все возможные случаи остатков при делении на 7 и в каждом случае доказали, что все выражение делится на 7.

А значит все выражение делится на 42