Question

Выведите данную формулу треугольника.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Выполним построения как показано в прикрепленном файле.

Тогда понятно, что:

$S_{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot r,\;S_{BOC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot r,\;S_{AOC}=\dfrac{1}{2}\cdot AC \cdot r$

Значит площадь всего треугольника:

$S_{ABC}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{AOC}=\dfrac{1}{2}\cdot r\cdot(AB+BC+AC)\;\;(*)$

Ясно, что $AB=AE+EB$.

Из прямоугольного треугольника $AOE$ $\mathrm{ctg}\,\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{AE}{r},\;\Rightarrow\;AE=r\cdot\mathrm{ctg}\,\dfrac{\alpha}{2}$.

(здесь используется факт, что центр вписанной окружности в треугольник лежит на пересечении его биссектрис).

Аналогично из треугольника $BOE$ имеем $BE=r\cdot \mathrm{ctg}\,\dfrac{\beta}{2}$.

Тогда $AB=AE+BE=r\cdot\left(\mathrm{ctg}\,\dfrac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\,\dfrac{\beta}{2}\right)$.

Аналогично имеем:

$BC=r\cdot\left(\mathrm{ctg}\,\dfrac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\,\dfrac{\gamma}{2}\right),\;AC=r\cdot\left(\mathrm{ctg}\,\dfrac{\gamma}{2}+\mathrm{ctg}\,\dfrac{\alpha}{2}\right)$

Подставляем полученное в $(*):$

$S_{ABC}=r^2\cdot\left(\mathrm{ctg}\,\dfrac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\,\dfrac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\,\dfrac{\gamma}{2}\right)$

Покажем теперь, что для любого треугольника с углами $\alpha,\;\beta,\;\gamma$ верно, что:

$\mathrm{ctg}\,\dfrac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\,\dfrac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\,\dfrac{\gamma}{2}=\mathrm{ctg}\,\dfrac{\alpha}{2}\mathrm{ctg}\,\dfrac{\beta}{2}\mathrm{ctg}\,\dfrac{\gamma}{2}$

Поскольку речь идет об углах треугольника, то верно, что:

$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ,\;\Rightarrow\;\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\beta}{2}+\dfrac{\gamma}{2}=90^\circ,\;\Rightarrow\;\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\beta}{2}=90^\circ-\dfrac{\gamma}{2}$

Берем котангенсы от обеих частей равенства:

$\mathrm{ctg}\left(\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\beta}{2}\right)=\mathrm{ctg}\left(90^\circ-\dfrac{\gamma}{2}\right)=\mathrm{tg}\dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{1}{\mathrm{ctg}\dfrac{\gamma}{2}}$

По формуле котангенса суммы:

$\dfrac{\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\mathrm{ctg}\dfrac{\beta}{2}-1}{\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\dfrac{\beta}{2}}=\dfrac{1}{\mathrm{ctg}\dfrac{\gamma}{2}},\;\Rightarrow\;\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\mathrm{ctg}\dfrac{\beta}{2}\mathrm{ctg}\dfrac{\gamma}{2}-\mathrm{ctg}\dfrac{\gamma}{2}=\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\dfrac{\beta}{2}$

Откуда получаем требуемое:

$\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\mathrm{ctg}\dfrac{\beta}{2}\mathrm{ctg}\dfrac{\gamma}{2}=\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}+\mathrm{ctg}\dfrac{\beta}{2}+\mathrm{ctg}\dfrac{\gamma}{2}$

Таким образом, мы показали, что:

$S_{ABC}=r^2\;\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\;\mathrm{ctg}\dfrac{\beta}{2}\;\mathrm{ctg}\dfrac{\gamma}{2}$

Задание выполнено!