Розв'язати рівняння
0.5^x+2^(x+3)=6
Ответы
Ответ:
Найдем решение уравнения 0.5^x + 2^(x+3) = 6.
Для начала, преобразуем выражение 2^(x+3) к виду 8*2^x:
0.5^x + 8*2^x = 6
Заметим, что 0.5 = 2^(-1), тогда можно записать уравнение в следующем виде:
2^(-x) + 8*2^x = 6
Перенесем член 8*2^x в левую часть и приведем подобные слагаемые:
2^(-x) - 6*2^x = -8
Теперь можно привести обе части уравнения к общему знаменателю:
2^(-x)*2^(3x) - 6*2^(2x) = -8*2^(3x)
2^(2x) - 6*2^(x) - 8*2^(3x) = 0
Заменим 2^x на y:
y^2 - 6y - 8 = 0
Теперь полученное квадратное уравнение можно решить стандартным способом, используя формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4*1*(-8) = 100
y1 = (6 - 10) / 2 = -2
y2 = (6 + 10) / 2 = 8
Так как мы заменили 2^x на y, то заменим его обратно:
2^x = -2 или 2^x = 8
Первое уравнение не имеет решений, так как возведение 2 в степень дает всегда положительное число. Второе уравнение можно решить, взяв логарифм от обеих частей:
x*log(2) = log(8)
x = log(8) / log(2) = 3
Таким образом, решением исходного уравнения является x = 3.
Пояснение: в данном уравнении мы использовали различные законы алгебры и свойства степеней и логарифмов для приведения выражения к удобному для решения виду. Затем мы применили формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения и перешли обратно к исходным переменным.