Предмет: Математика, автор: svetamorgonuk33

Обчислити границю повністю з розв'язком

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Ovaug
0

Відповідь:

Щоб обчислити ліміт, спростимо спочатку вираз:

(n + 3)! + 2(n + 2)! / 3 * (n + 3)! - (n + 2)!

Знаменником є (n + 3)! - (n + 2)!, що можна факторизувати:

(n + 3)! - (n + 2)! = (n + 2)! * (n + 3 - 1) - (n + 2)!

= (n + 2)! * (n + 2) - (n + 2)!

= (n + 2)! * (n + 2 - 1)

= (n + 2)! * n

Тепер підставимо спрощене значення знаменника назад в початковий вираз:

(n + 3)! + 2(n + 2)! / 3 * (n + 3)! - (n + 2)!

= (n + 3)! + 2(n + 2)! / 3 * (n + 3)! - (n + 2)! * n

= [(n + 3)! + 2(n + 2)! - (n + 2)! * n] / [(n + 3)! * 3]

Тепер можна скоротити спільний множник (n + 2)! з чисельника та знаменника:

= [(n + 3)! + (2 - n)(n + 2)!] / [(n + 3)! * 3]

= [(n + 3)! + (2 - n)(n + 2)!] / [(n + 3)! * 3]

Тепер, коли n збільшується до нескінченності, можна помітити, що доданок (2 - n) в чисельнику буде дуже малим порівняно з факторіалом (n + 3)!, оскільки n збільшується до нескінченності. Тому можна приблизно сказати, що (2 - n) * (n + 2)! прямує до нуля.

Таким чином, ліміт виразу, коли n збільшується до нескінченності, буде:

lim n→∞ [(n + 3)! + (2 - n)(n + 2)!] / [(n + 3)! * 3]

= lim n→∞ [1 + (2 - n)(n + 2)! / (n + 3)!] / 3

= [1 + 0] / 3

= 1/3

Отже, ліміт виразу дорівнює 1/3.

Похожие вопросы