Обчислити границю повністю з розв'язком
Ответы
Відповідь:
Щоб обчислити ліміт, спростимо спочатку вираз:
(n + 3)! + 2(n + 2)! / 3 * (n + 3)! - (n + 2)!
Знаменником є (n + 3)! - (n + 2)!, що можна факторизувати:
(n + 3)! - (n + 2)! = (n + 2)! * (n + 3 - 1) - (n + 2)!
= (n + 2)! * (n + 2) - (n + 2)!
= (n + 2)! * (n + 2 - 1)
= (n + 2)! * n
Тепер підставимо спрощене значення знаменника назад в початковий вираз:
(n + 3)! + 2(n + 2)! / 3 * (n + 3)! - (n + 2)!
= (n + 3)! + 2(n + 2)! / 3 * (n + 3)! - (n + 2)! * n
= [(n + 3)! + 2(n + 2)! - (n + 2)! * n] / [(n + 3)! * 3]
Тепер можна скоротити спільний множник (n + 2)! з чисельника та знаменника:
= [(n + 3)! + (2 - n)(n + 2)!] / [(n + 3)! * 3]
= [(n + 3)! + (2 - n)(n + 2)!] / [(n + 3)! * 3]
Тепер, коли n збільшується до нескінченності, можна помітити, що доданок (2 - n) в чисельнику буде дуже малим порівняно з факторіалом (n + 3)!, оскільки n збільшується до нескінченності. Тому можна приблизно сказати, що (2 - n) * (n + 2)! прямує до нуля.
Таким чином, ліміт виразу, коли n збільшується до нескінченності, буде:
lim n→∞ [(n + 3)! + (2 - n)(n + 2)!] / [(n + 3)! * 3]
= lim n→∞ [1 + (2 - n)(n + 2)! / (n + 3)!] / 3
= [1 + 0] / 3
= 1/3
Отже, ліміт виразу дорівнює 1/3.