у прямокутному трикутнику один із катетів менший за гіпотенузу на 3 см, а другий - на 6 см. Знайдіть площу даного трикутника.
Ответы
Ответ:
Объяснение:Нехай один катет дорівнює х см, а другий - у см. Тоді гіпотенуза буде (х + 3) см, оскільки один катет менший за гіпотенузу на 3 см.
За теоремою Піфагора, в прямокутному трикутнику сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи:
x^2 + y^2 = (x + 3)^2.
Розкриваємо дужки:
x^2 + y^2 = x^2 + 6x + 9.
Віднімаємо x^2 з обох боків рівняння:
y^2 = 6x + 9.
Також відомо, що другий катет менший за гіпотенузу на 6 см:
y = (x + 3) - 6 = x - 3.
Підставляємо це значення в попереднє рівняння:
(x - 3)^2 = 6x + 9.
Розкриваємо дужки:
x^2 - 6x + 9 = 6x + 9.
Скорочуємо 9 з обох боків:
x^2 - 6x = 6x.
Переносимо всі терміни на одну сторону рівняння:
x^2 - 12x = 0.
Тепер ми маємо квадратне рівняння. Його коренями будуть x = 0 та x = 12.
Оскільки катет не може мати довжину 0 см, то вибираємо x = 12.
Підставляємо це значення в вираз для другого катета:
y = x - 3 = 12 - 3 = 9.
Таким чином, довжини катетів становлять 12 см та 9 см, а довжина гіпотенузи становить 12 + 3 = 15 см.
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку довжини катета і гіпотенузи:
Площа = (1/2) * (12 см) * (9 см) = 54 см².
Отже, площа даного трикутника дорівнює 54 квадратним сантиметрам.