Question

ПОМОГИТЕ ПРОШУ!
При каких значениях параметра а уравнение 9^х-2(а+1)3^х-3а^2+2а+1=0 имеет точно два разных положительных решения
​

Answer 1

Ответ:

a∉ R

Объяснение:

Теорема Виета

Произведу замену:

Пусть $3^{x}=t$

В силу того, что $9^{x} =3^{2x}$ получим уравнение

$t^{2}-2(a+1)t-3a^{2}+2a+1=0\\t^{2}-(2a+2)t-(a-1)(3a+1)=0\\t_{1} +t_{2}= 2a+2\\t_{1} \times t_{2}=(1-a)(3a+1)\\t_{1}=1-a\\t_{2} =3a+1$

Одно решение t даёт ровно один корень x, при этом, мы учитываем тот факт, что $3^{x} > 0$, а также не забываем про условие $x > 0$. Значит, для того, чтобы исходное уравнение имело два положительных корня, должно быть найдено два t>1

$\left \{ {{1-a > 1} \atop {3a+1 > 1}} \right. < = > \left \{ {{a < 0} \atop {a > 0}} \right.$

a∉ R

Метод гвоздей:

Должно быть выполнено несколько условий:

$D > 0\\f(1) > 0\\x_{0} > 1$

Решим данную систему:

$4(a+1)^{2} -4(-3a^{2}+2a+1)=4(a^{2}+2a+1+3a^{2} -2a-1)=16a^{2} > 0 \\a\neq 0\\f(1)=1-2(a+1)-3a^{2}+2a+1=-3a^{2} > 0\\x_{0}=a+1 > 1\\ a > 0$

Объединяя получаем a∉ R

Дискриминант

Можно остановиться на дискриминанте, ибо он здесь хороший: при условии что a≠0 получаем пару корней. Потом добавляем условия:

$t=\frac{2(a+1)+4a}{2} > 1\\t=\frac{2(a+1)-4a}{2} > 1$

Получаем a∉ R

Видимо, в задаче действительно такой ответ.