Question

15. Спростіть вираз √(1-2 sin a cos a) +√ (1 + 2 sin a cos a), якщо π/4<a<π/2​

Answer 1

Ответ:

Распишем подкоренные выражения как квадраты суммы и разности .

$\bf 1-2\, sina\cdot cosa=sin^2a+cos^2a-2\, sina\cdot cosa=(sina-cosa)^2\\\\ 1+2\, sina\cdot cosa=sin^2a+cos^2a+2\, sina\cdot cosa=(sina+cosa)^2$  

Тогда заданное выражение имеет вид

$\bf \sqrt{1-2\, sina\cdot cosa}+\sqrt{1+2\, sina\cdot cosa}=\sqrt{(sina-cosa)^2}+\sqrt{(sina+cosa)^2}=\\\\=|\, sina-cosa\, |+|\, sina+cosa\, |$

На интервале  $\bf \Big(\dfrac{\pi }{4}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\Big)$  значения функции  $\bf y=sinx$  больше

значений функции  $\bf y=cosx$  . Тогда  $\bf sina > cosa$  при  $\bf a\in \bf \Big(\dfrac{\pi }{4}\ ;\ \dfrac{\pi }{2}\Big)$   и

$\bf sina-cosa > 0\ \ \Rightarrow \ \ |\, sina-cosa\, |=sina-cosa\ ,\\\\sina+cosa > 0\ \ \Rightarrow \ \ |\, sina+cosa\, |=sina+cosa$ .

Окончательно получаем

$\bf \sqrt{1-2\, sina\cdot cosa}+\sqrt{1+2\, sina\cdot cosa}=|\, sina-cosa\, |+|\, sina+cosa\, |=\\\\=sina-cosa+sina+cosa=2\, sina$