Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х^2+3 и у=х+5.
Ответы
Ответ:
Для знаходження площі фігури, обмеженої лініями у = х^2 + 3 та у = х + 5, можна використати метод інтегрування.
Спочатку знайдемо точки перетину цих двох ліній, рівняючи їх:
х^2 + 3 = х + 5.
Перенесемо всі терміни на одну сторону рівняння:
х^2 - х - 2 = 0.
Це квадратне рівняння можна розв'язати факторизацією або за допомогою квадратного кореня. Розв'яжемо його за допомогою квадратного кореня:
х = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(1)(-2))) / (2(1)).
Після спрощення отримаємо:
х = (1 ± √(1 + 8)) / 2,
х = (1 ± √9) / 2,
х = (1 ± 3) / 2.
Таким чином, отримуємо дві точки перетину: х1 = -1 і х2 = 2.
Для знаходження площі фігури між цими лініями, використовуємо інтегрування. Задані лінії перетинаються в точках х1 = -1 і х2 = 2. Тому, площа фігури обмежена віссю OX і лініями у = х^2 + 3 і у = х + 5, може бути обчислена таким чином:
S = ∫(a до b) (у2 - у1) dx,
де у1 = х^2 + 3 і у2 = х + 5, a = -1 і b = 2.
Застосуємо цю формулу:
S = ∫(-1 до 2) ((х + 5) - (х^2 + 3)) dx.
Розрахуємо цей інтеграл:
S = ∫(-1 до 2) (-х^2 + х + 2) dx.
Знаходження цього інтегралу можна провести методом площі під кривою. Отримаємо:
S = [(-х^3/3) + (х^2/2) + 2х] з -1 до 2.
Підставимо верхню і нижню межі і обчислимо значення:
S = [(-2^3/3) + (2^2/2) + 2(2)] - [(-(-1)^3/3) + ((-