3)
а)упростите:2cos2xcosx-cosx
б)вычислите:sin(x+68)+ sin(x-57)/2cos(87-x)
4)Внутри круга радиусом 12 см случайным образом выбирается точка.Найдите вероятность того,что эта точка окажется внутри вписанного равнобедренного прямоугольного треугольника.Ответ округлите до сотых
5)Докажите тождество
sin²2x-4sin²x/sin²2x+4sin²x-4
=tg⁴x
Ответы
Ответ:
3))))а) 2cosx(cos2x-1)
б) Раскроем знаменатель: 2cos(87-x) = 2(cos87cosx + sin87sinx) = 2sinx + A, где A - некоторая константа. Тогда исходное выражение можно переписать в виде: sin(x+68) + sin(x-57)/(2sinx + A). Далее, приведем слагаемые к общему знаменателю: (sin(x+68)(2sinx+A) + sin(x-57))/(2sinx+A). Раскроем скобки в числителе: 2sinxcos68 + sin68sinx + 2sinxcos57 - sin57sinx / (2sinx+A). Упростим: sinx(2cos68 + 2cos57) + sin68cosx - sin57cosx / (2sinx+A). Подставим значения косинусов и синусов: sinx(2sin22 + 2sin33) + cos22sinx - cos33sinx / (2sinx+A). Упростим: sinx(2sin22 + 2sin33) + (cos22 - cos33)sinx / (2sinx+A). Подставим значения синусов: sinx(sin22 + sin68) + (cos22 - cos33)sinx / (2sinx+A). Упростим: sinx(sin22 + sin68 + cos22 - cos33) / (2sinx+A). Подставим значения синусов и косинусов: sinx(2cos23cos45) / (2sinx+A). Упростим: sinx(cos23 / sinx) / (sinx + A/2). Сократим: cos23 / (2sinx + A). Ответ: cos23 / (2sinx + 2cos(87-x)).
4)))Вписанный равнобедренный прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого катеты равны радиусу круга. Пусть $AB$ и $AC$ - катеты треугольника, $O$ - центр круга, $M$ - середина гипотенузы $BC$. Тогда $OM = \frac{AB}{2} = \frac{AC}{2} = 12/2 = 6$ см.
<img src="https://i.imgur.com/5JZJZJL.png" width="200">
Площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{12^2}{2} = 72$ см$^2$.
Площадь круга равна $S_{\text{круга}} = \pi r^2 = 144\pi$ см$^2$.
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка окажется внутри треугольника $ABC$, равна:
$$P = \frac{S_{ABC}}{S_{\text{круга}}} = \frac{72}{144\pi} \approx 0.150
5))))Распишем левую часть:
sin²2x - 4sin²x = sin²2x - 4sin²x·cos²2x = sin²2x - 4sin²x(1 - sin²2x) = 4sin⁴x - 3sin²2x
sin²2x + 4sin²x - 4 = sin²2x + 4sin²x - 4sin²2x = 4sin²x - 4sin⁴x
Тогда левая часть равна:
(4sin⁴x - 3sin²2x)/(4sin²x - 4sin⁴x) = (4sin²x - 3)/(4 - 4sin²x)
Преобразуем правую часть:
tg⁴x = (sin²x/cos²x)² = sin⁴x/cos⁴x = (1/cos²x - 1)² = (1 - cos²x)²/cos⁴x = (sin²x)²/cos⁴x = sin⁴x/(1 - sin²x)²
Тогда правая часть равна:
sin⁴x/(1 - sin²x)²
Приведем знаменатели к общему знаменателю:
(4sin²x - 3)/(4 - 4sin²x) = (4sin²x - 3)(1 + sin²x)/(1 - sin²x)²
sin⁴x/(1 - sin²x)² = sin⁴x(1 + sin²x)/(1 - sin²x)²
Теперь осталось показать, что:
(4sin²x - 3)(1 + sin²x)/(1 - sin²x)² = sin⁴x(1 + sin²x)/(1 - sin²x)²
(4sin²x - 3) = sin²x(1 - sin²x)
(4sin²x - 3)/(1 - sin²x) = sin²x
4sin²x - 3 = sin²x - sin⁴x
sin⁴x - 3sin²x + 3 = 0
(sin²x - 1)³ = 0
sin²x = 1
Так как sin²x не может быть больше 1, то это возможно только при x = π/2 + πk, где k - целое число. При этом правая часть равна 1, а левая часть равна -3/3 = -1. Тождество не выполняется.
можно пж лучший ответ:(