В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на медиане BD отмечена точка К, а на сторонах АВ и ВС и N соответственно. Известно, что <ВКМ = а) Найдите угол BNK.
б) Докажите, что прямые MN и ВК взаимно перпендикулярны.
Ответы
Ответ:
Удачи
Объяснение:
Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника.
Поскольку треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, то медиана BD является высотой и биссектрисой угла В. Также, по свойству равнобедренного треугольника, углы при основании АС равны между собой, то есть ∠А = ∠С.
Рассмотрим треугольник ВКМ. Так как точка К лежит на медиане BD, то она делит ее пополам, то есть BD = DK. Также, угол ВКМ равен ∠ВКД (так как ВК является биссектрисой угла В), а угол ДКМ равен углу АКС (так как АК является биссектрисой угла А). Так как треугольник АВС равнобедренный, то угол АКС равен углу КСВ. Следовательно, угол ВКМ равен углу КСВ.
Таким образом, получаем, что угол ВНК равен ∠ВКМ + ∠КСВ. Но так как треугольник АВС равнобедренный, то ∠КСВ равен ∠АСВ/2. А так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠АСВ = 2∠В. Следовательно, ∠КСВ = ∠В. Таким образом, угол ВНК равен ∠ВКМ + ∠В.
Так как треугольник ВКМ равнобедренный, то ∠ВКМ = 180° - 2∠В. Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем:
∠ВНК = (180° - 2∠В) + ∠В = 180° - ∠В.
Таким образом, угол BNK равен 180° - ∠В.
Чтобы доказать, что прямые MN и ВК взаимно перпендикулярны, рассмотрим треугольник БНК. Мы уже знаем, что угол BNК равен 180° - ∠В. Также, угол БНК равен 180° - 2∠В (так как треугольник АВС равнобедренный). Следовательно, угол БНМ равен ∠В (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Таким образом, угол между прямыми BN и MN равен ∠В. Но мы уже знаем, что угол ВНК также равен ∠В. Следовательно, прямые MN и ВК перпендикулярны друг другу.