Question

(ВИШ.МАТ)
На Нью-Йоркській фондовій біржі брокер повинен придбати пакети акцій різних
найбільш популярних компаній. Прогнозовано, що 50 % пакетів є прибутковими.
Скільки потрібно придбати пакетів, щоб з імовірністю не меншою, ніж 0,908, бути
впевненим у прибутковості принаймні одного пакета акцій?
ВІДПОВІДЬ РОЗПИСАТИ!

Answer 1

Ответ:

Для вирішення цього завдання використаємо принцип комплементарності ймовірностей.

Позначимо:

p - ймовірність прибуткового пакета акцій (p = 0.50)

q - ймовірність неприбуткового пакета акцій (q = 1 - p = 1 - 0.50 = 0.50)

n - кількість пакетів акцій, які потрібно придбати

За заданням, ми хочемо бути впевненими у прибутковості принаймні одного пакета акцій з ймовірністю не меншою, ніж 0.908. Це означає, що ймовірність того, що всі пакети акцій будуть неприбутковими, має бути меншою за 1 - 0.908 = 0.092.

За формулою ймовірностей:

P(всі пакети акцій неприбуткові) = q^n

Тому ми шукаємо найменшу кількість пакетів акцій n, при якій q^n < 0.092.

Підставимо значення q = 0.50 у формулу і отримаємо нерівність:

0.50^n < 0.092

Для вирішення цієї нерівності, візьмемо логарифм від обох боків:

log(0.50^n) < log(0.092)

Застосуємо властивості логарифма:

n * log(0.50) < log(0.092)

Підставимо значення log(0.50) ≈ -0.30103 та log(0.092) ≈ -1.03610:

n * (-0.30103) < -1.03610

Розділимо обидві частини нерівності на (-0.30103), не змінюючи знака нерівності:

n > (-1.03610) / (-0.30103)

n > 3.439

Оскільки кількість пакетів акцій повинна бути цілим числом, найменша ціла кількість пакетів, яку потрібно придбати, щоб забезпечити ймовірність не меншу за 0.908 прибуткового пакета, складає

Answer 2

Відповідь:

Для вирішення даної задачі будемо використовувати поняття доповнення ймовірності.

Задача полягає в тому, щоб знайти мінімальну кількість пакетів акцій, яку треба придбати, щоб бути впевненим у прибутковості принаймні одного пакета акцій з імовірністю не меншою, ніж 0,908.

Для початку, знайдемо ймовірність того, що жоден з придбаних пакетів акцій не є прибутковим. За умовою, 50% пакетів є прибутковими, отже, ймовірність того, що один пакет не є прибутковим, складає 1 - 0.5 = 0.5.

Таким чином, ймовірність того, що жоден з n придбаних пакетів акцій не є прибутковим, буде дорівнювати (0.5)^n.

Ймовірність того, що принаймні один пакет акцій буде прибутковим, можна обчислити як доповнення до ймовірності того, що жоден пакет не є прибутковим:

P(принаймні один прибутковий пакет) = 1 - P(жоден пакет не є прибутковим) = 1 - (0.5)^n.

За умовою задачі, ця ймовірність повинна бути не менша, ніж 0.908:

1 - (0.5)^n ≥ 0.908.

Тепер знайдемо мінімальне значення n, що задовольняє цю нерівність:

(0.5)^n ≤ 1 - 0.908.

(0.5)^n ≤ 0.092.

Оскільки (0.5)^n зменшується зі збільшенням n, ми можемо перебрати значення n, починаючи з мінімальних значень, доки не знайдемо найменше ціле значення, для якого нерівність виконується.

(0.5)^1 = 0.5 (не задовольняє умові).

(0.5)^2 = 0.25 (не задовольняє умові).

(0.5)^3 = 0.125 (не задовольняє умові).

(0.5)^4 = 0.0625 (не задовольняє умові).

(0.5)^5 = 0.03125 (задовольняє умові).

Отже, мінімальна кількість пакетів акцій, яку потрібно придбати, щоб бути впевненим у прибутковості принаймні одного пакета акцій з імовірністю не меншою, ніж 0.908, дорівнює 5.