Question

один из углов трапеций вписанной в окружность равен 29, 4

Найдите остальные углы

Answer 1

Ответ:

Пусть ABCD - трапеция, вписанная в окружность с центром в точке O, где AB || CD. Угол ABC равен 29,4 градуса.

Так как трапеция вписана в окружность, то ее диагонали AC и BD являются диаметрами окружности, а значит, углы ADC и ABC являются прямыми.

Также из свойств вписанных углов следует, что угол AOC = 2 × угол ABC = 58,8 градусов.

Таким образом, углы трапеции можно найти, используя следующие свойства:

- Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов;

- Угол, составленный хордой и касательной к окружности, равен половине угла, опирающегося на эту хорду.

Пусть E - точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда угол BCD равен углу BAC (как вертикальные углы), то есть α, а угол DAC равен углу CBD, то есть β. Обозначим угол BDC через γ.

Из прямоугольного треугольника BOD, где OD - радиус окружности, получаем:

∠BOD = 90°

Из треугольника ODC:

∠ODC = (180° - ∠OCD - ∠OBC) / 2 = (180° - α - β) / 2

Аналогично, из треугольника OAB:

∠OAB = (180° - ∠OAD - ∠OBA) / 2 = (180° - α - β) / 2

Так как ∠OAB + ∠OBA = 180°, то

∠OBA = 180° - ∠OAB = 180° - (180° - α - β) / 2 = (α + β) / 2

Из прямоугольного треугольника AOD:

∠AOD = 90°

Из треугольника AOC:

∠AOC = 2∠ABC = 2α

Из треугольника BOC:

∠BOC = 2∠BDC = 2γ

Также из прямоугольного треугольника BOC следует, что:

∠BOC + ∠OBC + ∠OBA = 180°

2γ + (180° - α - β) / 2 + (α + β) / 2 = 180°

2γ + 180° - α - β = 180°

2γ = α + β

Таким образом, мы получили систему уравнений:

∠ODC = (180° - α - β) / 2

∠OAB = (180° - α - β) / 2

∠OBA = (α + β) / 2

∠AOC = 2α

∠BOC = 2γ

2γ = α + β

Решив эту систему уравнений, можно найти значения углов α, β и γ. Сложив эти углы, мы получим сумму углов трапеции.

Выразим α и β из первых двух уравнений и подставим их в третье уравнение:

∠OBA = (α + β) / 2 = (180° - ∠OAB) / 2

α + β = 360° - 2∠OAB

Подставим это выражение для α + β в уравнение 2γ = α + β:

2γ = 360° - 2∠OAB

γ = 180° - ∠OAB

Таким образом, угол BDC равен 180° - углу, противостоящему углу ABC, то есть:

γ = 180° - 2α = 180° - 2 × 29,4° = 121,2°

Из уравнений для ∠ODC и ∠OAB получаем:

∠ODC = ∠OAB = (180° - α - β) / 2 = (180° - 2α) / 2 = 90° - α = 90° - 29,4° = 60,6°

Суммируя значения углов, получаем:

α + β + γ + 90° + 90° = 360°

α + β + γ = 90°

Таким образом, углы трапеции равны:

∠ABC = 29,4°

∠BCD = 121,2°

∠CDA = 29,4°

∠DAB = 90° - 29,4° = 60,6°

Объяснение: