Question

(1-(1 /( 2*2)))*(1-(1/(3*3)))...(1-(1/(2011*2011)))=x/(2*2011)   как  найти  х?

Answer 1

$(1-frac{1}{4})(1-frac{1}{9})(1-frac{1}{16})...(1-frac{1}{2011^2})=frac{x}{2*2011}\\ frac{2^2-1}{2^2}*frac{3^2-1}{3^2}*frac{4^2-1}{4^2}*....*frac{2011^2-1}{2011^2}=frac{x}{2*2011}\\ frac{(2-1)(2+1)(3-1)(3+1)(4-1)(4+1)*...*(2011-1)(2011+1)}{2^2*3^2*4^2*..*2011^2}=\\ frac{1*2*3*4*5*....2010*3*4*5*6*....2012}{2^2*3^2*4^2*..*2011^2}$
теперь заметим что каждое произведение реккурентно отличается от предыдущего на сомножители то есть  возьмем частный случаи 
$frac{(1*2*3*4)*(3*4*5*6)}{(4*9*16*25}=frac{x}{2*25}\ x=30=5*6\\ frac{(1*2*3*4)*(3*4*5*6)(5*7)}{(4*9*16*25*36)}=frac{x}{2*36} \ x=42=6*7$
таким образом при нашем выражений  
 $x=2012$