При каком наименьшем значении параметра а уравнение
2 lg( x+ 3) = lg(ax)
имеет два решения?.
Ответы
Використовуючи властивості логарифмів, можемо спростити рівняння:
2lg(x + 3) = lg(ax)
Застосуємо правило логарифмів: lg(a) + lg(b) = lg(ab):
lg((x + 3)²) = lg(ax)
Позбавимось від логарифмів:
(x + 3)² = ax
Розкриємо квадрат:
x² + 6x + 9 = ax
Перенесемо всі терміни на одну сторону:
x² + (6 - a)x + 9 = 0
Отримане рівняння є квадратним. Використовуючи формулу дискримінанту, маємо:
D = (6 - a)² - 4 * 1 * 9
= 36 - 12a + a² - 36
= a² - 12a
Тепер розглянемо можливі випадки:
a) Якщо D > 0, тобто a² - 12a > 0:
З цього випливає, що a > 0 і a < 12.
Тоді рівняння має два різних розв'язки:
x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-(6 - a) + √(a² - 12a)) / (2)
x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-(6 - a) - √(a² - 12a)) / (2)
b) Якщо D = 0, тобто a² - 12a = 0:
З цього випливає, що a = 0 або a = 12.
Тоді рівняння має один розв'язок:
x = -b / (2a) = (6 - a) / 2
c) Якщо D < 0, тобто a² - 12a < 0:
З цього випливає, що 0 < a < 12.
Тоді рівняння не має розв'язків у межах дійсних чисел.
Отже, залежно від значення параметра "a" ми можемо мати два розв'язки, один розв'язок або немає розв'язків у межах дійсних чисел.
Объяснение:
ОДЗ:
Теперь к уравнению:
Такое уравнение может иметь максимум два решения, и выполняется это при условии, что Дискриминант больше нуля:
Однако это не является полным условием, мы не забываем про то, что должно выполняться ОДЗ, поскольку нас интересует минимальное значение параметра, мы будем рассматривать для начала случай, когда a<0:
Чтобы два корня удовлетворяли ОДЗ, нужно выполнить условия:
x>-3, а также x<0, то есть 0>x>-3
Когда это условие выполнится:
При этом не забываем, что a<0
Теперь достаточно решить:
Противоречие, отрицательные a не подходят
Рассматриваем случай a>0
Здесь x должен быть просто положительным, чтобы ОДЗ выполнялось:
Дискриминант положителен при a>12
Я лишь могу назвать минимальное целое значение параметра: это a=13, вполне возможно что я где-то просчитался