Предмет: Алгебра, автор: raisaboichenko435

При каком наименьшем значении параметра а уравнение
2 lg( x+ 3) = lg(ax)
имеет два решения?.

Ответы

Автор ответа: lianelsavranska
0

Використовуючи властивості логарифмів, можемо спростити рівняння:

2lg(x + 3) = lg(ax)

Застосуємо правило логарифмів: lg(a) + lg(b) = lg(ab):

lg((x + 3)²) = lg(ax)

Позбавимось від логарифмів:

(x + 3)² = ax

Розкриємо квадрат:

x² + 6x + 9 = ax

Перенесемо всі терміни на одну сторону:

x² + (6 - a)x + 9 = 0

Отримане рівняння є квадратним. Використовуючи формулу дискримінанту, маємо:

D = (6 - a)² - 4 * 1 * 9

= 36 - 12a + a² - 36

= a² - 12a

Тепер розглянемо можливі випадки:

a) Якщо D > 0, тобто a² - 12a > 0:

З цього випливає, що a > 0 і a < 12.

Тоді рівняння має два різних розв'язки:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-(6 - a) + √(a² - 12a)) / (2)

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-(6 - a) - √(a² - 12a)) / (2)

b) Якщо D = 0, тобто a² - 12a = 0:

З цього випливає, що a = 0 або a = 12.

Тоді рівняння має один розв'язок:

x = -b / (2a) = (6 - a) / 2

c) Якщо D < 0, тобто a² - 12a < 0:

З цього випливає, що 0 < a < 12.

Тоді рівняння не має розв'язків у межах дійсних чисел.

Отже, залежно від значення параметра "a" ми можемо мати два розв'язки, один розв'язок або немає розв'язків у межах дійсних чисел.


hderyb: И что в итоге здесь решение?
raisaboichenko435: Немає відповіді на поставлене питання. Не враховано ОДЗ,
Автор ответа: hderyb
0

Объяснение:

ОДЗ:

ax &gt; 0 \\ x + 3 &gt; 0

Теперь к уравнению:

2lg(x + 3) = lg(ax)  &lt;  =  &gt; lg(x + 3)^{2}  = lg(ax) \\  {x}^{2}  + 6x + 9 = ax \\  {x}^{2}  + (6 - a)x + 9 = 0

Такое уравнение может иметь максимум два решения, и выполняется это при условии, что Дискриминант больше нуля:

 {(6 - a)}^{2}  - 36 &gt; 0 \\ 36 - 12a  +  a^{2}  - 36 &gt; 0 \\  {a}^{2}  - 12a &gt; 0 \\ a(a - 12) &gt; 0

Однако это не является полным условием, мы не забываем про то, что должно выполняться ОДЗ, поскольку нас интересует минимальное значение параметра, мы будем рассматривать для начала случай, когда a<0:

Чтобы два корня удовлетворяли ОДЗ, нужно выполнить условия:

x>-3, а также x<0, то есть 0>x>-3

Когда это условие выполнится:

f(0) &gt; 0 \\ f( - 3) &gt; 0 \\  - 3 &lt; x0 &lt; 0

При этом не забываем, что a<0

Теперь достаточно решить:

9 &gt; 0 \\ 9   - 3(6 - a) + 9 &gt; 0 \\ 18 - 3(6 - a) &gt; 0 \\ 6 - a &lt;  6 \\ a &gt; 0

Противоречие, отрицательные a не подходят

Рассматриваем случай a>0

Здесь x должен быть просто положительным, чтобы ОДЗ выполнялось:

f(0) &gt; 0 \\ x0 &gt; 0

 \frac{a - 6}{2}  &gt; 0 \\ a &gt; 6

Дискриминант положителен при a>12

Я лишь могу назвать минимальное целое значение параметра: это a=13, вполне возможно что я где-то просчитался

Похожие вопросы
Предмет: Английский язык, автор: bunddaut