Question

При каком наименьшем значении параметра а уравнение
2 lg( x+ 3) = lg(ax)
имеет два решения?.

Answer 1

Використовуючи властивості логарифмів, можемо спростити рівняння:

2lg(x + 3) = lg(ax)

Застосуємо правило логарифмів: lg(a) + lg(b) = lg(ab):

lg((x + 3)²) = lg(ax)

Позбавимось від логарифмів:

(x + 3)² = ax

Розкриємо квадрат:

x² + 6x + 9 = ax

Перенесемо всі терміни на одну сторону:

x² + (6 - a)x + 9 = 0

Отримане рівняння є квадратним. Використовуючи формулу дискримінанту, маємо:

D = (6 - a)² - 4 * 1 * 9

= 36 - 12a + a² - 36

= a² - 12a

Тепер розглянемо можливі випадки:

a) Якщо D > 0, тобто a² - 12a > 0:

З цього випливає, що a > 0 і a < 12.

Тоді рівняння має два різних розв'язки:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-(6 - a) + √(a² - 12a)) / (2)

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-(6 - a) - √(a² - 12a)) / (2)

b) Якщо D = 0, тобто a² - 12a = 0:

З цього випливає, що a = 0 або a = 12.

Тоді рівняння має один розв'язок:

x = -b / (2a) = (6 - a) / 2

c) Якщо D < 0, тобто a² - 12a < 0:

З цього випливає, що 0 < a < 12.

Тоді рівняння не має розв'язків у межах дійсних чисел.

Отже, залежно від значення параметра "a" ми можемо мати два розв'язки, один розв'язок або немає розв'язків у межах дійсних чисел.

Answer 2

Объяснение:

ОДЗ:

$ax > 0 \\ x + 3 > 0$

Теперь к уравнению:

$2lg(x + 3) = lg(ax) < = > lg(x + 3)^{2} = lg(ax) \\ {x}^{2} + 6x + 9 = ax \\ {x}^{2} + (6 - a)x + 9 = 0$

Такое уравнение может иметь максимум два решения, и выполняется это при условии, что Дискриминант больше нуля:

${(6 - a)}^{2} - 36 > 0 \\ 36 - 12a + a^{2} - 36 > 0 \\ {a}^{2} - 12a > 0 \\ a(a - 12) > 0$

Однако это не является полным условием, мы не забываем про то, что должно выполняться ОДЗ, поскольку нас интересует минимальное значение параметра, мы будем рассматривать для начала случай, когда a<0:

Чтобы два корня удовлетворяли ОДЗ, нужно выполнить условия:

x>-3, а также x<0, то есть 0>x>-3

Когда это условие выполнится:

$f(0) > 0 \\ f( - 3) > 0 \\ - 3 < x0 < 0$

При этом не забываем, что a<0

Теперь достаточно решить:

$9 > 0 \\ 9 - 3(6 - a) + 9 > 0 \\ 18 - 3(6 - a) > 0 \\ 6 - a < 6 \\ a > 0$

Противоречие, отрицательные a не подходят

Рассматриваем случай a>0

Здесь x должен быть просто положительным, чтобы ОДЗ выполнялось:

$f(0) > 0 \\ x0 > 0$

$\frac{a - 6}{2} > 0 \\ a > 6$

Дискриминант положителен при a>12

Я лишь могу назвать минимальное целое значение параметра: это a=13, вполне возможно что я где-то просчитался