Question

Алгебра. Даю 100 балів. потрібно вирішити завдання з максимальним поясненням щоб було усе зрозуміло будь ласка.

з дуже детальним поясненням будь ласка

Answer 1

Ответ:

1) Определить количество корней на отрезке [-5 ; 5 ] .

$\bf 1.\ \ cos^2-sin^2x=1\ \ \Rightarrow \ \ \ cos2x=1\ \ ,\ \ 2x=2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\underline{x=\pi n\ ,\ n\in Z}\\\\x\in [-5\, ;\, 5\, ]\ \ ,\ \ 5\ radian\approx 286,5^\circ \ \ \Rightarrow \ \ \underline{x=-\pi \ ,\ 0\ ,\ \pi }\ .$    

Г) , три корня .

$\bf 2.\ \ log_3x=-2\ \ \Rightarrow \ \ \ x=3^{-2}\ \ ,\ \ x=\dfrac{1}{9}\in [-5\ ;\ 5\ ]$

Б) , один корень

$\bf 3.\ \ \dfrac{x^3-4x}{x^3+8}=0\ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{x(x-2)(x+2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}=0\ \ ,\ \ \dfrac{x\, (x-2)}{x^2-2x+4}=0\ \ \Rightarrow \\\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf x(x-2)=0\\\bf x\ne -2\end{array}\right\ \ ,\ \ \underline{x_1=0\ \ ,\ \ x_2=2}\\\\0\in [-5\ ;\ 5\ ]\ \ ,\ \ 2\in [-5\ ;\ 5\ ]$

В) ,  два корня

$\bf 4.\ \ x^4+5x^2+4=0\ \ ,\ \ \ (x^2)^2+5x^2+4=0\ \ ,\\\\t=x^2\geq 0\ \ ,\ \ t^2+5t+4=0\ \ \Rightarrow \ \ t_1=-4\ ,\ x_2=-1\ \ (teorema\ Vieta)\\\\\underline{x^2\ne -4\ ,\ x^2\ne -1}$  

Уравнение не имеет ни одного корня , в том числе и на

сегменте [-5 ; 5 ]  .

А) , ни одного корня  

Ответ:  1 - Г , 2 - Б , 3 - В , 4 - А .

$2)\ \ \bf \Big(log_2(x+1)-3\Big)\cdot \sqrt{x-a}=0$  

ОДЗ:  $\bf x > -1$  и   $\bf x\geq a$  , неравенства должны выполняться одновременно .

Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0 .

$\bf log_2(x+1)-3=0\ \ ,\ \ log_2(x+1)=3\ \ ,\ \ x+1=2^3\ \ ,\ \ x=7\\\\\sqrt{x-a}=0\ \ ,\ \ x-a=0\ \ ,\ \ x=a$    

Если  a ≤ -1  , то получим единственное решение  х = 7 , так как в ОДЗ будут входить только  х > -1 , а  х = а  не будут входить в ОДЗ .

Если  -1 < a  < 7 , то получим два решения  х = 7  и  x = a .

Если  а = 7  , то получим один корень  х = 7 .

Если a > 7 , то получим два решения  х = 7  и  х = а  .

Можно посмотреть по графикам функций .